Незвідність однієї матриці 8-го порядку над локальними кільцями довжини більше 2

Abstract

Розглядаються квадратнi матрицi, вигляду 0 ... 0 1 1 ... 0 0 . . . ... . . . . . . 0 ... 1 0!· diag[ k z}|{ 1,...,1,t,...,t], де k — натуральне число менше порядку матрицi, над комутативним локальним кiльцем радикал Джекобсона якого є головним iдеалом породженим елементом t. Вiдомо, що для k не взаємно простого з порядком матрицi всi розглядуванi матрицi звiднi. Якщо радикал ненульовий, то всi розглядуванi матрицi з k = 1 або k на одиницю менше порядку матрицi незвiднi а всi розглядуванi матрицi порядку менше 7 незвiднi тодi i тiльки тодi, коли k взаємно просте з порядком матрицi. Якщо ступiнь нiльпотентностi радикала 2, то матрицi M(t,3,7), M(t,4,7) є звiднi. Якщо радикал не нiльпотентний, або ступiнь нiльпотентностi радикала вище 2, то всi розглядуванi матрицi порядку менше 8 незвiднi тодi i тiльки тодi, коли k взаємно просте з порядком матрицi. Вiдомо, отже, що M(t,1,8), M(t,7,8) є незвiднi а M(t,2,8), M(t,4,8), M(t,6,8) є звiднi. В роботi показано незвiднiсть матрицi M(t,5,8). Крiм того, для довiльного комутативного локального кiльця з ненульовим радикалом, породженим елементом t, у випадку подiбностi розглядуваних матриць довiльного порядку до (D B 0 A ) (тобто їх звiдностi), описується вигляд, до якого подiбна квадратна матриця D. В цьому випадку, порядок D не менше 2 а всi стовпцi, окрiм можливо одного, який складається з усiх елементiв кратних t, одержаного вигляду мiстять рiвно один ненульовий елемент рiвний 1 або добутку t на оборотнiй множник. Для доведення незвiдностi матрицi M(t,5,8) показано, що подiбнiсть до матрицi (D B 0 A ), за 6 можливими випадками знайденого вигляду D неможливi. Випадки класифiковано за кiлькiстю одиниць та порядком матрицi D вiд 2 до 4. А також показано, що неможливiсть подiбностi в iнших випадках зводиться до розглянутих.

We consider a monomial n×n-matrices of form 0 ... 0 1 1 ... 0 0 . . . ... . . . . . . 0 ... 1 0!·diag[ k z}|{ 1,...,1,t,...,t], where k is an integer smaller than the size of the matrix over the commutative local ring with Jacobson’s radical which is the principle ideal generated by the element t. It is known that for k which is not coprime to the size of the matrix all matrix are reducible. If the radical is nonzero, then all considered matrices with k = 1 or k per unit less than the size of the matrix are irreducible and all considered matrices of size less than 7 are irreducible if and only if k is coprime with the size of the matrix. If the degree of nilpotency of radical is 2, then the matrices M(t,3,7), M(t,4,7) are reducible. If the radical is not nilpotent, or the degree of nilpotency of the radical is higher than 2, then all considered matrices of order less than 8 are irreducible if and only if k is coprime with the size of matrix. It is known that M(t,1,8), M(t,7,8) are irreducible and M(t,2,8), M(t,4,8), M(t,6,8) are reducible. The paper shows the irreducibility of the matrix M(t,5,8). In addition, for an arbitrary commutative local ring with a non-zero radical generated by t, if the considered matrix of arbitrary size similar to (D B 0 A ), (that is, their reducibility) describes the form to which a square matrix D is similar. In this case, the order D is not less than 2 and D is similar to form with all columns contains exactly one non-zero element equal to 1 or the product of invertible element and t except possibly one, which consists of all elements of multiples t. To prove that the matrix M(t,5.8) is irreducible, it is shown that the similarity to the matrix (D B 0 A ), for 6 cases of the form D are not possible. The cases are classified by the number of units and the matrix order D from 2 to 4. It is also shown that the impossibility of similarity in other cases is reduced to considered.