Локальнi майже-кiльця на елементарних абелевих групах порядку p3

Abstract

Майже-кiльця виникають природним чином при вивченнi систем нелiнiйних вiд- ображень i вивчаються протягом багатьох десятилiть. Основнi визначення та багато результатiв стосовно майже-кiлець можна знайти, наприклад, у [G. Pilz. Near-rings. The theory and its applications. North Holland, Amsterdam, 1977]. Майже-кiльця - це узагальнення кiлець в тому сенсi, що додавання не обов’язково є комутативним i передбачається лише один дистрибутивний закон. Очевидно, що кожне асоцiативне кiльце є майже-кiльцем, i кожна група є адитивною групою майже- кiльця, але не обов’язково майже-кiльця з одиницею. Питання про те, яка група може бути адитивною групою майже-кiльця з одиницею, далеке вiд вирiшення. Майже-кiльце R з одиницею називається локальним, якщо пiдгрупа усiх необоро- тних елементiв iз R утворює пiдгрупу адитивної групи R. Дослiдження локальних майже-кiлець було iнiцiйовано Мексоном (1968), який визначив ряд їх основних вла- стивостей i, зокрема, довiв, що адитивна група нуль-симетричного локального майже- кiльця є p-групою. Мексон (1968) описав усi неiзоморфнi нуль-симетричнi локальнi майже-кiльця з нециклiчною адитивною групою порядку p2, якi не є майже-полями. Мексон у 1968 р. також показав, що кожна нециклiчна абелева p-група порядку pn > 4 є адитивною групою нуль-симетричного локального майже-кiльця, яке не є кiльцем. Список усiх локальних майже-кiлець порядку не бiльше 31 ати з па- кету SONATA (https://gap-packages.github.io/sonata/) системи комп’ютерної алгебри GAP (https://www.gap-system.org/). Однак класифiкацiя майже-кiлець вищих поряд- кiв вимагає набагато складнiших обчислень. Для локальних майже-кiлець вони були реалiзованi в новому GAP-пакетi LocalNR (https://gap-packages.github.io/LocalNR). Поточна версiя (ще не розповсюджена за допомогою GAP) мiстить 37599 локальних майже-кiлець порядку не бiльше 361, за винятком порядкiв 128, 256 i деяких порядкiв 32, 64 i 243. Ця робота присвячена дослiдженню локальних майже-кiлець з елементарними абе- левими адитивними групами порядку p3. Ключовi слова: майже-кiльце, локальне майже-кiльце, елементарна абелева група.

Nearrings arise naturally in the study of systems of nonlinear mappings, and have been studied for many decades. Basic definitions and many results concerning nearrings can be for instance found in [G. Pilz. Near-rings. The theory and its applications. North Holland, Amsterdam, 1977]. Nearrings are generalized rings in the sense that the addition need not be commutative and only one distributive law is assumed. Clearly every associative ring is a nearring and each group is the additive group of a nearring, but not necessarily of a nearring with identity. The question what group can be the additive group of a nearring with identity is far from solution. A nearring R with an identity is called local if the set of all non-invertible elements of R forms a subgroup of the additive group of R. A study of local nearrings was initiated by Maxson (1968) who defined a number of their basic properties and proved in particular that the additive group of a finite zero-symmetric local nearring is a p-group. Maxson (1968) described all non-isomorphic zero-symmetric local nearrings with non-cyclic additive group of order p2 which are not nearfields. He also shown in 1968 that every non-cyclic abelian p-group of order pn > 4 is the additive group of a zero-symmetric local nearring which is not a ring. The list of all local nearrings of order at most 31 can be extracted from the package SONATA (https://gap-packages.github.io/sonata/) of the computer system algebra GAP (https://www.gap-system.org/). However, the classification of nearrings of higher orders requires much more complex calculations. For local nearrings they were realized by us in the form of a new GAP package called LocalNR (https://gap-packages.github.io/LocalNR). Its current version (not yet distributed with GAP) contains 37599 local nearrings of order at most 361, except orders 128, 256 and some of orders 32, 64 and 243. This paper is devoted to the study of local nearrings whose additive groups are an Abelian group of order p3. Keywords: nearring, local nearring, elementary Abelian group.