Про силовські підгрупи повної лінійної групи над кільцем

Abstract

Нехай кільце R цілих величин скінченного розширення поля р-адичних чисел містить первісний корінь степеня рn з одиниці. Показується, що: 1) якщо р > 2 і n= 1, то в групі GL(p, R) міститься по крайній мірі (р - 2) незвідних силовських р-підгруп попарно різних порядків; 2) якщо р > 2 i n > 1, то в группі GL(p, R) існують абелеві силовські підгрупи типів (рn,р2), ..., (рn, рn); 3) якщо p=2 i n >2, тов групі GL(2n-1) існує абелева силовська 2-підгрупа типу (2n, 2n).

Let R be a ring of integers of the finite extention of p-adic field and R containes primitive pn-th root of unity (p is a prime). In this paper we obtaine next rezultes: 1) if p > 2 and n = 1, then GL(p, R) containes at least (jp —2) irredusible Sylow p-subgroups of pairwise different orders; 2) if p > 2 and n> 1, then there are exists Abelian Sylow subgroups of types (pn, p2), ..., (pn, pn) of the group GL(p, R); 3) if p=2 and n > 2, then there is exist Abelian Sylow 2-subgroup of type (2n, 2n) of the group GL(2n-1, R).