Однорідні та 𝛼–монотонні бульові функції

Abstract

Для бульового набору 𝛼 вводиться відношення часткового порядку ≺𝛼 Ha множині бульових наборів Zn2 = {0,1}n. Бульова функція f називається 𝛼 -монотонною, якщо для довільних ꞵ,б ϵ Zn2 f(ꞵ) ≤f (б), як тільки ꞵ≺𝛼 б. Вводиться поняття 𝛼 -канонічного поліному Р𝛼(f) бульової функції f та ДНФ, породженої цим поліномом. Доводиться, що ДНФ, породжена поліномом Р𝛼(f), тоді і тільки тоді є ДНФ бульової функції f, коли функція f є 𝛼 -монотонною. Показано, що бульова функція є однорідною, якщо вона 𝛼 -монотонна для деякого 𝛼 ϵ Zn2. На основі цього побудовано алгоритм мінімізації однорідних бульових функцій.

For a Boolean collection 𝛼 the ratio of partial order <𝛼 on a set of Boolean collection Zn2 = {0,1}n is introduced. A Boolean function f is considered to be 𝛼 —monotonic if for arbitrary ꞵ,б ϵ Zn2 f(ꞵ) ≤f (б) if only ꞵ≺𝛼 б. The concept of 𝛼 —canonic polynomial Р𝛼 (f) of a Boolean function f and Disjunctive Normal Form, generated by this polinomial, is being put. It is proved that Disjunctive Normal Form, generated by a polinomial P𝛼 (f), is that of a Boolean function f, if and only if the function f is 𝛼 —monotonic. It is shown a Boolean function is homogenous, if it is 𝛼 — monotonic for a certain 𝛼 ϵ Zn2. Based on this assumption rather a minimization algorithm of homogenous Boolean function is constructed.