Representation of a one class function of two variables by bicontinued fractions

Abstract

Let function u(z, w) = f(z)h(w) be defined on the compact set K ⊂ C2. We study the problem of representation of functions of this class by the product of two continued fractions, which is called a bicontinued fraction. Some properties of Thiele reciprocal derivatives, Thiele continued fractions and regular C–fractions are proved. The possibility of representation of functions of this class by bicontinued fractions is shown. Examples are considered, domains of convergence and uniform convergence of obtained bicontinued fractions to the function are indicated.

Нехай функцiя u(z, w) = f(z)h(w) визначена на компактi K = Z × W ⊂ C2. Дослiджується задача зображення функцiй такого класу добутком ланцюгових дробiв по кожнiй змiннiй, який називають бiланцюговим дробом. В роботi доведено новi властивостi обернених похiдних Тiле та коефiцiєнтiв розвинення складеної функцiї однiєї змiнної в ланцюговий дрiб Тiле i провильний ланцюговий С–дрiб. Зокрема доведено, що якщо D(z; g) розвинення функцiї ланцюговий дрiб Тiле, то розвинення функцiх g¯(z) = Cg(z), C = const, має вигляд D(z; Cg) = CD(z; g). Крiм того показано, що оберненi похiднi Тiле функцiї gˇ(z) = g(Cz) визначаються за формулами (2k) g(Cz) = (2k) g(v) v=Cz, (2k−1) g(Cz) = C−1 (2k−1)g(v) v=Cz, k ∈