Узагальнення асимптотичного розкладу Рамануджана-Ватсона-Кнута

Abstract

У роботi наведено асимптотичний розклад для математичного сподiвання моменту(𝑟 + 1)-го збiгу в узагальненiй задачi про днi народження. У випадку 𝑟 = 1 даний розклад добре вiдомий у лiтературi як асимптотичний розклад Рамануджана-Ватсона- Кнута. Iдея доведення одержаного результату полягає у застосуваннi методу Лапласа до оцiнки iнтеграла з параметром, який виникає при обчисленнi точного значення шуканого математичного сподiвання

The paper presents an asymptotic expansion for the mathematical expectation of the moment of the (𝑟 + 1)-th coincidence in the generalized birthday problem. In the case where 𝑟 = 1, this expansion is well known in the literature as the Ramanujan-Watson- Knuth asymptotic expansion. The idea of proving the obtained result is to apply the Laplace method to estimate the integral with a parameter that arises when calculating the exact value of the sought mathematical expectation.