Формальний розв’язок задачі Діріхле у кулі для неоднорідного ультрагіперболічного рівняння з поліноміальною правою частиною

Abstract

В роботi знайдено формальний розв’язок задачi Дiрiхле у кулi для неоднорiдного ультрагiперболiчного рiвняння з полiномiальною правою частиною. Процедура побудови розв’язку базується на апаратi сферичних функцiй та теорiї гiпергеометричного рiвняння Гаусса. При цьому шукана функцiя та вiдома права частина дослiджуваного рiвняння розкладаються в ряд Фур’є за сферичними гармонiками, якi є власними функцiями оператора Лапласа-Бельтрамi. Зазначене розкладання дозволяє привести вихiдне ультрагiперболiчне рiвняння до звичайного неоднорiдного диференцiального рiвняння другого порядку. Вiдповiдне однорiдне рiвняння за допомогою пiдстановки перетворюється на гiпергеометричне рiвняння Гаусса, дослiдження якого полягає у детальному аналiзi так званого виродженого випадку, коли розв’язок може бути виражений через будь-якi два з 24 рядiв Куммера. Складнощi доведення гладкостi розв’язку задачi Дiрiхле для ультрагiперболiчного рiвняння пов’язанi з тим, що кожен наступний член формального ряду виражається через попереднiй за допомогою громiздких рекурентних спiввiдношень.

Formal solution of the Dirichlet problem in a ball for a non-homogeneous ultrahyperbolic equation with a polynomial right-hand part. In the paper, a formal solution of the Dirichlet problem in a ball for a nonhomogeneous ultrahyperbolic equation with a polynomial right-hand side is found. The solution construction procedure is based on the apparatus of spherical functions and the theory of Gauss’s hypergeometric equation. At the same time, the sought function and the known right-hand side of the investigated equation are expanded into a Fourier series by spherical harmonics, which are eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator. The specified decomposition allows to reduce the original ultrahyperbolic equation to an ordinary inhomogeneous differential equation of the second order. The corresponding homogeneous equation is transformed by substitution into a hypergeometric Gaussian equation, the study of which consists in a detailed analysis of the so-called degenerate case, when the solution can be expressed in terms of any two of Kummer’s 24 series. Difficulties in proving solution smoothness are due to the fact that each subsequent term of the formal series is expressed in terms of the previous one using cumbersome recurrence relations.