Зображення груп дiедра вищих степенiв над деякими комутативними локальними кiльцями

Abstract

Розглядаються комутативнi локальнi кiльця R з 1, в яких m – оборотний елемент. Описано зображення Dm → GL(n, R) довiльного степеня n ≥ 1 групи Дiедра Dm = (¬ a, b | a^m = 1, b^2 = 1, bab^-1 = a^-1 ) , m > 1 над R. Знайдено умови їх незвiдностi, нерозкладностi i еквiвалентностi. Доведено, що, коренi m-го степеня iз 1 кiльця R утворюють циклiчну групу i, з точнiстю до еквiвалентностi, зображення групи Dm , m > 1 над R породжуються одномiрними зображеннями a → ±1 , b → α , α^2 = 1 , двомiрними нерозкладними зображеннями a→(ε^i 0 0 ε^-i), b→(0 1 1 0) і a→ (0 -1 1 r), b→± (-1 0 r 1), де елемент ε породжує коренi m-го степеня iз 1 кiльця R, k – порядок ε , r ∈ R , тричлен x^2 − rx + 1 дiлить без остачi двочлен x^m − 1 , r 6= ε^i + ε^-i , 1 ≤ i < k/2 , a→ (1 0 0 1), b → ( -1 1 0 1) і a → (1 0 0 1), b → (1 0 0 1) + J, де 2 ∈ J (R) , J – нерозкладна матриця над радикалом J (R) , J (2 + J) = 0 , а також нероз- кладними зображеннями степеня n > 2 a → En , b → En + Jn (при 2 ∈ J (R) ) i a → a0 , b → b0 , де Jn – нерозкладна матриця над радикалом J (R) , Jn (2 + Jn) = 0 , а a0 – корiнь многочлена 1 + x^k + … + x^m-k, b^2₀ = 1 , b₀a₀b^-1 ₀= a^ ₀.

Commutative local rings R with identity with m – an inverse element are considered. Representations Dm → GL(n, R) of an arbitrary degree n ≥ 1 of the dihedral group Dm = (¬ a, b | a^m = 1, b^2 = 1, bab^-1 = a^-1 ) , m > 1 over R are described. Conditions of irreducibility, indecomposability and equivalency are found. It is proved that the m-th roots of unity of the ring R form a cyclic group and up to equivalency, the representations of the group Dm , m > 1 over R are generated by one-dimensional representations a → ±1 , b → α , α^2 = 1 , two- dimensional indecomposable representations a→(ε^i 0 0 ε^-i), b→(0 1 1 0) і a→ (0 -1 1 r), b→± (-1 0 r 1), where the element ε generates them-th roots of unity of the ring R, k – order of ε , r ∈ R , polynomial x^2 − rx + 1 divides x^m − 1 without residue, r 6= ε^i + ε^-i , 1 ≤ i < k/2 , a→ (1 0 0 1), b → ( -1 1 0 1) і a → (1 0 0 1), b → (1 0 0 1) + J, where 2 ∈ J (R) , J – indecomposable matrix over the radical J (R) , J (2 + J) = 0 , and also by the indecomposable representations of degree n > 2 a → En , b → En + Jn (when 2 ∈ J (R) ) and a → a0 , b → b0 , where Jn – indecomposable matrix over the radical J (R) , Jn (2 + Jn) = 0 , and a0 - root of the polynomial 1 + x^k + … + x^m-k, b^2₀ = 1 , b₀a₀b^-1 ₀= a^ ₀.