Дослідження інтегральних крайових задач діленням відрізку інтегрування навпіл

Abstract

We give a new approach for the investigation of existence and construction of on approximate solutions of nonlinear non-autonomous systems of ordinary di erential equations under nonlinear integral boundary conditions depending on the derivative. At the heart of the method [6] are transition from given integral boundary conditions to parametrized conditions model type, which have a simple appearance of the initial conditions. For a model parametrized problem, a constructive numerical analytical schemes is constructed, which is built on parametrized approximations with improved convergence characteristics. The connections between the solutions is established model and transitional of the boundary value problems. It is proved that by dividing the segment of integration in half, twice can be improved su cient conditions uniform convergence parametrized sequential approximations. This technique and its advantages are shown in the example of integral boundary value problem, in which to perform su cient convergence conditions we need to divide the segment of integration in half. Keywords: ordinary di erential equations, nonlinear integral boundary value problems, continuously di erentiated solution, Lipschitz condition, division segment integration, convergence of successive approximations.Запропоновано новий пiдхiд для дослiдження та побудови наближених розв’язкiв нелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь, пiдпорядкованим нелiнiйним iнтегральним крайовим умовам, якi залежать i вiд похiдної. В основi метода [6] лежить перехiд вiд заданих iнтегральних крайових умов до параметризованих умов модельного типу, якi мають простий вигляд початкових умов. Для модельної параметризованої задачi побудована конструктивна чисельно-аналiтична схема, яка базується на параметризованих послiдовних наближеннях з покращеними характеристиками збiжностi. Встановлено зв’язок мiж розв’язками модельної та вихiдної крайової задачi. В основi дослiдження iснування розв’язкiв розглядуваних крайових задач лежить вивчення розв’язкiв скiнченно вимiрної системи наближених визначальних алгебраЁ- чних рiвнянь. Ця система може бути записана в явному виглядi на основi побудованої параметризованої послiдовностi. Таким чином вiд нескiнченно вимiрної задачi здiйснено перехiд до встановлення розв’язностi скiнченно вимiрної системи алгебраїчних рiвнянь. Доведено, що дiленням вiдрiзка iнтегрування навпiл, в два рази можна покращити достатнi умови рiвномiрної збiжностi параметризованих послiдовних наближень. Цю технiку i її переваги продемонстровано на прикладi iнтегральної крайової задачi, в яких для виконання достатнiх умов збiжностi потрiбно подiлити вiдрiзок iнтегрування навпiл.