Кратностi ваг незвiдних зображень алгебри Лi SL3

Abstract

В данiй статтi для комплексної алгебри Лi 𝑠𝑙3 запропонована явна формула зна- ходження кратностi ваги незвiдного зображення Γ𝜆, яке визначається старшою вагою 𝜆 = (𝑎, 𝑏). Множина всiх ваг Λ такого зображення утворює групове кiльце Z[Λ] з мультиплiкативним базисом e(𝜇), 𝜇 ∈ Λ. Характер зображення Char Γ𝜆 є елементом Z[Λ], коефiцiєнти якого i є шуканими кратностями. Головна iдея обчислень полягає у специфiкацiї базису e(𝜇) = 𝑥𝜇1𝑦𝜇2 групового кiльця Z[𝜆]. Це дало можливiсть предста- вити характер Char Γ𝑎,𝑏 незвiдного Γ𝑎,𝑏 зображення як многочлен Шура 𝑠𝑎,𝑏 (︂ 𝑥, 𝑦 𝑥 , 1 𝑦 )︂ вiд двох змiнних 𝑥, 𝑦 . Як наслiдок ми виразити коефiцiєнти цього многочлена через простi функцiї, якi легко обчислюються за лiнiйний час. Ключову роль в обчисленнi зiграли знайденi явно коефiцiєнти розкладу ряду Δ = 1 (𝑦2 − 𝑥) (1 − 𝑦𝑥) (𝑦 − 𝑥2) , в термiнах функцiї 𝑐(𝑛, 𝑘) = ⎧⎨ ⎩ min(𝑛−𝑘 + 2, 𝑘), 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 + 1, 0, в iншому випадку. Ключовi слова: алгебри Лi, незвiднi зображення, характери, кратностi, формула Вейля, многочлени Шура.

Ramskyi A. O., Samaruk N. M., Poplavska O. A. Weight multiplicities of irreducible representations of the Lie algebra 𝑠𝑙3. In this paper, for the complex Lie algebra 𝑠𝑙3 we propose an explicit formula for finding the multiplicity of the weight of the irreducible representation Γ𝜆, which is determined by its higher weight 𝜆 = (𝑎, 𝑏). The set of all weights Λ of such a representation forms a group ring Z[Λ] with the multiplicative basis e(𝜇), 𝜇 ∈ Λ. The character of the representation Char Γ𝜆 is an element of Z[Λ], the coefficients of which are the required multiplicities. The main idea of the calculations is to specify the basis e(𝜇) = 𝑥𝜇1𝑦𝜇2 of the group ring Z[𝜆]. This made it possible to represent the character Char Γ𝜆 of the irreducible representation Γ𝜆 as a Schur polynomial 𝑠𝑎,𝑏 (︂ 𝑥, 𝑦 𝑥 , 1 𝑦 )︂ of two variables 𝑥, 𝑦. As a consequence, we express the coefficients of this polynomial through simple functions that are easily computed for linear time. The key role in the calculation was played by the explicitly found coefficients of the series decomposition Δ = 1 (𝑦2 − 𝑥) (1 − 𝑦𝑥) (𝑦 − 𝑥2) , in terms of the function 𝑐(𝑛, 𝑘) = ⎧⎨ ⎩ min(𝑛−𝑘 + 2, 𝑘), 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 + 1, 0, otherwise. Keywords: Lie algebras, irreducible representations, characters, multiplicities, Weyl formula, Schur polynomials.