Розширенi бiнарнi коди Голея за груповою алгеброю групи Дiедра

Abstract

Для побудови лiнiйних бiнарних самодуальних кодiв було встановлено багато рi- зних конструкцiй. У статтi розглядаємо побудову розширених бiнарних кодiв Голея за головними iдеалами (лiвими) груповою алгеброю F2𝐷24 групи дiедра 𝐷24 порядку 24 над полем з двох елементiв F2. Розроблено алгоритм вiдшукання та знайдено програм- ним шляхом всi елементи 𝑣 ∈ F2𝐷24, якi породжують головнi iдеали, що визначають розширених бiнарних кодiв Голея. Ранiше таким способом розширений бiнарний код Голея будувався за одним елементом 𝑣 ∈ F2𝐷24, що 𝑣 = 𝑣*. Було знайдено всi 36 864 елементiв 𝑣 ∈ F2𝐷24 за якими можна побудувати розширений бiнарний код Голея та з’ясовано, що 768 з них задовольняє умову 𝑣 = 𝑣*.

Many different structures for construction linear binary self-dual codes were established. In the paper we consider the construction of extended binary Golay codes according to the principle ideals (left) of the group algebra F2𝐷24 of the dihedral group 𝐷24 of order 24 over a field of two elements F2. A search algorithm has been developed and all elements 𝑣 ∈ F2𝐷24, which generate the principle ideals that define extended binary Golay codes, have been found programmatically. Previously, in this way the extended binary Golay code was built on one element 𝑣 ∈ F2𝐷24, which 𝑣 = 𝑣*. All 36 864 elements 𝑣 ∈ F2𝐷24 were found, on which the define extended binary Golay codes can be constructed, and it was found that 768 of them satisfy the condition 𝑣 = 𝑣*.– Keywords: group algebra, extended binary codes, Golay codes, self-dual codes, codes over fields, dihedral group.