Про диференцiально-первиннi iдеали нетерових напiвкiлець

Abstract

Мельник I. О. Про диференцiально-первиннi iдеали нетерових напiвкiлець. Ця стаття присвячена дослiдженню поняття диференцiально-первинного iдеалу в диференцiальному комутативному напiвкiльцi (напiвкiльцi разом iз заданому на ньому диференцiюванням) та його зв’язками з поняттями квазiпервинного iдеалу та примарного iдеалу. Поняття диференцiювання напiвкiльця традицiйно визначають як адитивне вiдображення, яке задовольняє правило Лейбнiца, тобто вiдображення 𝛿 : 𝑅 → 𝑅 називають диференцiюванням напiвкiльця 𝑅, якщо 𝛿 (𝑎 + 𝑏) = 𝛿 (𝑎) + 𝛿 (𝑏) i 𝛿 (𝑎𝑏) = 𝛿 (𝑎) 𝑏 + 𝑎𝛿 (𝑏) для будь-яких 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Диференцiальний iдеал 𝑃 напiвкiльця 𝑅 називають диференцiально-первинним iдеалом, якщо для будь-яких 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑘 ∈ N0, з 𝑎𝑏(𝑘) ∈ 𝑃 випливає, що 𝑎 ∈ 𝑃 або 𝑏 ∈ 𝑃. Доведено, що iдеал 𝑃 напiвкiльця 𝑅 є диференцiально-первинним тодi i тiльки тодi, коли для iдеалiв 𝐼 та 𝐽 напiвкiльця 𝑅 з включення 𝐼𝐽 ⊆ 𝑃 випливає, що 𝐼 ⊆ 𝑃 або 𝐽 ⊆ 𝑃. Квазiпервинний iдеал напiвкiльця — це диференцiальний iдеал, максимальний серед диференцiальних iдеалiв, що мають порожнiй перетин з деякою мультиплiкативно-замкненою пiдмножиною даного напiвкiльця. У цiй статтi дослiджуються деякi властивостi диференцiально-первинних iдеалiв, зокрема таких iдеалiв в диференцiальних нетерових напiвкiльцях. Стаття складається з двох основних частин. У першiй частинi встановлено де- якi властивостi диференцiально-первинних iдеалiв та подано приклади таких iде- алiв. У другiй частинi статтi автор дослiджує зв’язки, що iснують мiж поняття- ми квазiпервинний, примарний iдеал та диференцiально-первинний iдеал в нетеро- вих диференцiальних напiвкiльцях. Встановлено, що в диференцiальному нетеровому напiвкiльцi 𝑅 диференцiальний iдеал 𝐼 напiвкiльця 𝑅 є диференцiально-первинним iдеалом тодi i тiльки тодi, коли 𝐼 є квазiпервинний iдеал. Ключовi слова: диференцiювання напiвкiльця, диференцiальне напiвкiльце, дифе- ренцiальний iдеал напiвкiльця, диференцiально-первинний iдеал, квазiпервинний iде- ал, примарний iдеал, нетерове напiвкiльце.

The paper is devoted to the investigation of the notion of a differentially prime ideal of a differential commutative semiring (i. e. a semiring equipped with a derivation), and its interrelation with the notions of a quasi-prime ideal and a primary ideal. The notion of a semiring derivation is traditionally defined as an additive map satisfying the Leibnitz rule, i. e. a map 𝛿 : 𝑅 → 𝑅 is called a derivation on 𝑅 if 𝛿 (𝑎 + 𝑏) = 𝛿 (𝑎) + 𝛿 (𝑏) and 𝛿 (𝑎𝑏) = 𝛿 (𝑎) 𝑏 + 𝑎𝛿 (𝑏) for any 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. A differential ideal 𝑃 of 𝑅 is called a differentially prime ideal if for any 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑘 ∈ N0, 𝑎𝑏(𝑘) ∈ 𝑃 follows 𝑎 ∈ 𝑃 or 𝑏 ∈ 𝑃. It is proved that an ideal 𝑃 of a semiring 𝑅 is prime if and only if for any ideals 𝐼 and 𝐽 of 𝑅 the inclusion 𝐼𝐽 ⊆ 𝑃 follows 𝐼 ⊆ 𝑃 or 𝐽 ⊆ 𝑃. A quasi-prime ideal is a differential ideal of a semiring which is maximal among those ideals disjoint from some multiplicatively closed subset of a semiring. In this paper we investigate some properties of such differentially prime ideals, in particular in case of differential Noetherian semirings. The paper consists of two main parts. The first part of the paper is devoted to establishing some properties of differentially prime ideals and gives some examples of such ideals. In the second part, the author investigates the connection existing between quasi-prime ideals, primary ideals and differentially prime ideals in differential Noetherian semirings. It is established that in a differential Noetherian semiring 𝑅 a differential ideal 𝐼 of 𝑅 is differentially prime if and only if 𝐼 is a quasi-prime ideal. Keywords: semiring derivation, differential semiring, differential semiring ideal, differentially prime ideal, quasi-prime ideal, primary ideal, Noetherian semiring.