Про деякі властивості вільних лівих n-тринільпотентних тріоїдів

Abstract

Поняття трiоїда та триалгебри виникли в працi Ж.-Л. Лоде та M. О. Ронко, якi побудували цi алгебри за допомогою операд, асоцiйованих з ланцюговими модулями симплексiв та полiтопiв Сташеффа. Триалгебри, як вiдомо, є лiнiйними аналогами трiоїдiв. Серед перших результатiв про трiоїди є побудова Ж.-Л. Лоде та M. O. Ронко вiльного об’єкта рангу 1 у многовидi трiоїдiв. Трiоїди й напiвгрупи природно пов’язанi мiж собою: якщо операцiї трiоїда збiгаються, то вiн перетворюється в напiвгрупу. Останнiм часом кiлькiсть робiт з теорiї трiоїдiв та триалгебр стрiмко зростає, водночас значна увага придiлена побудовi вiдносно вiльних об’єктiв. У цiй роботi продовжено вивчення вiльних лiвих 𝑛-тринiльпотентних трiоїдiв. Охарактеризовано всi максимальнi пiдтрiоїди вiльних лiвих 𝑛-тринiльпотентних трiоїдiв (𝑛 > 1) та показано, що вiльний лiвий 𝑛-тринiльпотентий трiоїд мiстить пiдтрiоїд, який може бути представлений у виглядi лiвої сполуки пiддiмоноїдiв. Також пiдраховано потужнiсть напiвгрупи ендоморфiзмiв вiльного лiвого 𝑛-тринiльпотентного трiоїда в скiнченному випадку. Отриманi результати можуть бути застосованi в теорiї триалгебр.

The concepts of a trioid and a trialalgebra appeared in the work of J.-L. Loday and M. O. Ronco who constructed these algebras using operads associated with chain modules of simplices and Stasheff polytopes. It is well-known that trialgebras are linear analogues of trioids. Among the first results about trioids is the construction of J.-L. Loday and M. O. Ronko of a free object of rank 1 in a trioid variety. Trioids and semigroups are naturally related: if operations of a trioid coincide, it turns into a semigroup. Recently, the number of works on the theory of trioids and trialgebras is growing rapidly, at the same time, considerable attention is paid to the construction of relatively free objects. This work continues the study of free left 𝑛-trinilpotent trioids. All maximal subtrioids of the free left 𝑛-trinilpotent trioid (𝑛 > 1) are characterized, and it is shown that the free left 𝑛-trinilpotent trioid contains a subtrioid which can be represented as a left band of subdimonoids. The cardinality of the endomorphism semigroup of the free left 𝑛-trinilpotent trioid for the finite case is also calculated. The obtained results can be applied to trialgebra theory.