Semimodule of semiring derivations

Abstract

We study derivations of semirings, differential semirings and the set of all derivations on a semiring. The notion of a semiring derivation is traditionally defined as an additive map satisfying the Leibnitz rule. In the paper, we give new examples of semiring derivations, prove some of their properties. We also prove that the set of all derivations on a semiring forms a semimodule over its center. We show that the commutator of any two derivations is contained in a subsemimodule 𝑉 (𝑀) of elements of 𝑀 having additive inverse.

Вивчаються диференцiювання напiвкiлець, диференцiальнi напiвкiльця та множина диференцiювань напiвкiльця. Поняття диференцiального напiвкiльця традицiйно означають як адитивне вiдображення, що задовольняє правило Лейбнiца. У статтi наведено новi приклади диференцiювань напiвкiлець, доведено деякi їх властивостi. Також доведено, що множина всiх диференцiювань напiвкiльця утворює напiвмодуль над своїм центром. Показано, що комутатор будь-яких двох диференцiювань мiститься в пiднапiвмодулi 𝑉 (𝑀) елементiв 𝑀, якi мають адитивнi оберненi.