Опис зображень напівгрупи Рісса над групою С2 у модулярному випадку

Abstract

Матричнi зображення алгебраїчних об’єктiв завжди цiкавили науковцiв. Найбiльше вони вивчаються у математицi та фiзицi. При розглядi зображень як правило виникають двi основнi задачi: перша – дослiдити, до якого типу складностi вiдноситься задача (скiнченного типу, ручна чи дика), друга – описати зображення (цю задачу найпростiше розв’язати у випадку, коли задача скiнченного типу, оскiльки в цьому випадку кiлькiсть нерозкладних зображень скiнченна). Задачi про опис зображень певних алгебраїчних об’єктiв, як правило груп та напiвгруп, подiляються ще на два типи: модулярнi та немодулярнi. У випадку скiнченного порядку задача вiдноситься до модулярного випадку, якщо характеристика поля, над яким розглядаються зображення, дiлить порядок вiдповiдної групи (чи деякої пiдгрупи напiвгрупи). Вiдповiдно немодулярний випадок коли характеристика поля нуль, або не дiлить порядок групи (пiдгрупи напiвгрупи). Цi задачi вiдносяться до рiзних категорiй складностi. Наприклад, вiдома лема Машке, яка говорить про напiвпростоту групової алгебри у немодулярному випадку, фактично означає, що всi задачi про зображення груп у немодулярному випадку є задачами скiнченного типу. Якщо ж розглянути модулярний випадок, то теорiя одразу стає нетривiальною, над її побудовою працювало багато математикiв. На вiдмiну вiд теорiї зображень груп (див. [1]), теорiя зображень напiвгруп вивчена менше. Якщо говорити про класифiкацiю нерозкладних зображень напiвгруп, то в першу чергу слiд видiлити роботи I. С. Понiзовського [2, 3], К. Рiнгеля [4], а серед робiт останнього часу роботи В. М. Бондаренка та його учнiв С. М. Дяченка, О. М. Тертичної, О. В. Зубарук, Е. М. Костишин, Я. В. Зацiхи; див. зокрема [5–10]. Зображення напiвгруп Рiсса почав вивчати I. С. Понiзовський [2]. Вiн розглянув немодулярний випадок i описав напiвгрупи скiнченного типу. Дана стаття є продовженням статтi [10], в якiй автор розглянув зображувальний тип напiвгрупи Рiсса над групою C2 у модулярному випадку, тобто у випадку, коли характеристика основного поля рiвна 2. У статтi розглянутi задачi скiнченного типу i описанi всi нерозкладнi зображення.

Matrix representations of algebraic objects have always interested scientists. Most of them are studied in mathematics and physics. When considering representations, there are usually two main problems: the first is to investigate what type of complexity has matrix problem (finite type, tame or wild), the second is to describe all representations (this problem is easiest to solve when the matrix problem is of finite type, since in this case the number of non-decomposable representations is finite). A problem of describing representations of certain algebraic objects, as groups and semigroups, are further divided into two types: modular and non-modular. In the case of finite orders a problem refers to the modular case if the characteristic of the field over which the representation is considered divides the order of the corresponding group (or a subgroup of the semigroup). Accordingly, nonmodular case { when the field characteristic is zero or does not divide the order of the group (a subgroup of the semigroup). These problems fall into difierent categories of complexity. For example, the well-known Mashke lemma. Problem to find all representations of a given group in the non-modular case are finite-type problems. If we consider the modular case, then the theory immediately becomes non-trivial, many famous mathematicians worked on its. Unlike theory of representations groups [1]), semi-group repsentation theory has been studied less. If we talk about the classification of non-decomposable representations of semigroups, we should first of all highlight the works of I. S. Ponizovskiy [2, 3]. Among the works of recent times I want highlight articles of V. M. Bondarenko and his students S. M. Dyachenko, O. M. Tertichna, O. V. Zubaruk, E. M. Kostyshyn, Ja. V. Zaciha (see [5{10]). The representations of the Rees semigroups began to be studied by I. S. Ponizovsky [2]. He considered a non-modular case and described semigroups of finite type. This article is a continuation of the article [10], which consider the representation type of the Rees semigroup over the group C2 in the modular case, that is, if the characteristic of the basic field is equal to 2. The article deals with finite-type problems and describes all non-decomposable representations. Keywords: Rees semigroup, representation, matrix problem.