On the singular solution of Scroedinger equation for the hydrogen atom

Abstract

The authors of known for us textbooks on quantum mechanics pay attention only to the first regular solution of the Schrödinger equation for the hydrogen atom. To exclude the second linearly independent solution from the general solution, different textbooks give various arguments such as invalid boundary conditions in the coordinate origin, the appearance of Dirac delta function or divergence of the kinetic energy in the origin. Using the power series method, we obtained an exact analytic expression for the second independent solution of the Schrödinger equation for the hydrogen atom. The solution consists of a sum of two parts, one of which increases indefinitely over long distances, while the other is limited and contains a logarithmic term. This feature is peculiar to all values of the orbital angular momentums. On the example of the hydrogen atom, we demonstrated the mathematically correct algorithm of the construction of the independent solutions for the power series method. In particular, this algorithm is important in the case of quantum systems with coupled channels which are described by two or more coupled Schrödinger equations.

Методом розкладу в степеневий ряд, отримано точний аналітичний вираз для другого незалежного розв’язку рівняння Шредінгера для атома водню. Розв’язок складається з двох доданків, один з яких необмежено зростає на великих відстанях, а другий на нескінченості прямує до нуля, хоч і містить логарифмічний множник. Така структура розв’язку характерна для всіх величин орбітального моменту. У відомих нам підручниках по квантовій механіці наводиться тільки вираз для першого регулярного розв’язку. Для усунення другого лінійно незалежного розв’язку в різних підручниках наводяться різні аргументи.

Методом разложения в степенной ряд, получено точное аналитическое выражение для второго независимого решения уравнения Шредингера для атома водорода. Решение состоит из суммы двух частей, одна из которых неограниченно возрастает на больших расстояниях, а вторая ограничена на бесконечности, хоть и содержит содержит логарифмический множитель. Такая структура решения характерна для всех величин орбитального момента. В известных нам учебным пособиям по квантовой механике приводится только выражение для первого регулярного решения. Для исключения второго линейно независимого решения в разных учебниках приводятся различные аргументы.