Shor`s bounds for the weighted independence number

Abstract

Описано застосування технiки двоїстих лагранжевих квадратичних оцiнок Н. З. Шора до дослiдження задачi про максимальну зважену незалежну множину вершин графа. Наведено отриманi за її допомогою двi верхнi оцiнки Н. З. Шора для α(G,w) – максимального зваженого числа стiйкостi графа, якi можна знайти за полiномiальний час. Перша оцiнка ψ(G,w) пов’язана з квадратичною моделлю задачi про максимальну зважену незалежну множину вершин графа та спiвпадає з вiдомим числом Ловаса ϑ(G,w). Друга оцiнка ψ1(G,w) вiдповiдає цiй же квадратичнiй моделi, яка доповнена сiмейством функцiонально надлишкових квадратичних обмежень, та спроможна покращити точнiсть верхньої оцiнки α(G,w) у спецiальних сiмействах графiв. Показано, що ψ(G,w) = α(G,w), якщо граф є дводольним або досконалим, а ψ1(G,w) = α(G,w), якщо граф є t- або Wp-досконалим. На основi цих видiлених класiв графiв продемонстровано технологiю формування нових класiв графiв, для яких зберiгається полiномiальна розв’язнiсть задачi знаходження максимального зваженого числа стiйкостi графа. Таким чином, на прикладi задачi про максимальну зважену незалежну множину вершин графа показано, яким чином технiка лагранжевих оцiнок можебутизастосованадовирiшенняпроблемивидiленнякласiвполiномiальнорозв’язних задач комбiнаторної оптимiзацiї. Дана концепцiя може бути використана як для уточнення iснуючих оцiнок цiльової функцiї в задачах комбiнаторної оптимiзацiї, так i для обґрунтування їх полiномiальної розв’язностi.

Application of a technique of dual Lagrangian quadratic bounds of N.Z. Shor to studying the Maximum Weighted Independent Set problem is described. By the technique, two such N.Z. Shor’s upper bounds are obtained. These are bounds of the graph weighted independence number α(G,w), which can be found in polynomial time. The first bound ψ(G,w) is associated with a quadratic model of the Maximum Weighted Independent Set problem and coincides with the known Lov´asz number ϑ(G,w). The second bound ψ1(G,w) corresponds to the same quadratic model supplemented by a family of functionally redundant quadratic constraints and is able to improve the accuracy of the upper bound α(G,w) for special graph families. It is shown that, if graph is bipartite or perfect, ψ(G,w) = α(G,w), while ψ1(G,w) = α(G,w) for t- or Wp-perfect graphs. Based on the graph classes that were singled out, a technique is demonstrated, which enables us to form new classes of graphs for which polynomial solvability of the Maximum Weighted Independent Set problem is preserved. Thus, by an example of the Maximum Weighted Independent Set problem in a graph, it is shown how the Lagrangian bounds’ technique can be applied to solving an issue of single outing new classes of polynomial solvable combinatorial optimization problems. This approach can be used for improving known bounds of the objective function in combinatorial optimization problems as well as for justifying their polynomial solvability.