Про матричні зображення наднапівгруп напівгрупи, породженої двома взаємно анульовними ідемпотентами

Abstract

Матричні зображення скінченних напівгруп над полями вивчені не в такій мірі, як зображення груп. Зображення скінченних груп над полями вивчені достатньо добре; зокрема, повністю визначено зображувальний тип для довільного поля. Якщо характеристика p поля K не ділить порядок групи (класичний випадок), група має, з точністю до еквівалентності, скінченне число нерозкладних зображень; така група називається групою скінченного зображувального типу над K. Якщо ж характеристика p ділить порядок групи (модулярний випадок), група має скінченний зображувальний тип лише тоді, коли її силовська p-підгрупа циклічна. В цьому випадку для більшості скінченних груп задача про опис їх зображень включає в себе задачу про класифікацію пар матриць з точністю до подібності. Такі групи називаються дикими, а групи, що допускають явний опис зображень, - ручними.Ручні та дикі групи в модулярному випадку повністю описав перший автор разом з Ю.~А.~Дроздом.

В теорії зображень напівгруп найбільша кількість робіт присвячена незвідним зображенням. Серед старих результатів є лише окремі результати про напівгрупи скінченного зображувального типу, а саме для скінченної цілком простої напівгрупи (І. С. Понізовський) та деяких напівгруп всіх перетворень скінченної множини (І. С. Понізовський, К. Рінгель). Щодо випадків, коли число нерозкладних зображень нескінченне, то найбільш відомими є результати з теорії зображень алгебр, які можна переформулювати в термінах зображень напівгруп: опис зображень алгебри <a,b|ab=ba=0> (І. М. Гельфанд, В. А. Пономарьов і Л. О. Назарова, А. В. Ройтер, В. В. Сергейчук, В. М. Бондаренко) та алгебри <a,b|a2=b2=0> (В. М. Бондаренко і К. Рінгель).

Якщо ж говорити не про окремі напівгрупи, а про класи напівгруп, то слід відзначити роботи про зображення напівгруп, породжених ідемпотентами з частковим нульовим множенням (В. М. Бондаренко, О. М. Тертична), зображення напівгруп Ріса (С. М. Дяченко), напівгруп, породжених потентними елементами (В. М. Бондаренко, О. В. Зубарук) і зображення прямих добутків симетричної напівгрупи другого степеня (В. М. Бондаренко, Е. М. Костишин). Такі напівгрупи можуть мати як скіченне, так і нескінченне число нерозкладних зображень.

В. М. Бондаренко і Я. В. Заціха описали зображувальні типи напівгруп третього порядку над полем і вказали канонічну форму матричних зображень для довільної напівгрупи скінченного зображувального типу. Ця стаття присвячена дослідженню аналогічних задач для наднапівгруп комутативних напівгруп.

Matrix representations of nite semigroups over elds are studied not so well as for nite groups. Representations of nite groups over elds are studied su ciently well; in particular, the criterions of representation type are fully de ned for an arbitrary eld. If the characteristic p of a eld K does not divide the order of a group (classical case), then the group has, up to equivalence, nite number of non-decomposable representations; such group is called a group of nite representation type. If the characteristic p divides the order of a group (modular case), then the group has nite representation type only if its Sylow p-subgroup is cyclic. In this case for most nite groups the problems of describing their representations includes the problem on classi cation, up to similarity, of the pairs of matrices. Such groups are called wild, and groups that allow explicit descriptions of representations are called tame. The tame and wild groups in modular case are fully described by the rst author together with Yu. A. Drozd. In the theory of representations of semigroups, the largest number of works are de- voted to irreducible representations. Among the old results, there are only some results on semigroups of nite representation type, namely, for a nite quite simple semigroup (I. S. Ponizovsky) and some semigroups of all transformations of a nite set (I. S. Poni- zovsky, C. Ringel). In cases, when the numbers of non-decomposable representations is in nite, the most famous are the results from the theory of representations of algebras that can be reformulated in terms of representations of semigroups: the description of representations of the algebra < a; b j ab = ba = 0 > (I. M. Gelfand, V. A. Ponomarev and L. O. Nazarova, A. V. Roiter, V. V. Sergeichuk, V. M. Bondarenko) and the algebra < a; b j a2 = b2 = 0 > (V. M. Bondarenko and C. Ringel). If we are not talking about individual semigroups, but about semigroup classes, then it should be noted works about on representations of the semigroups generated by idempotents with partial zero multiplication (V. M. Bondarenko, O. M. Tertychna), represen- tations of the Rees semigroups (S. M. Dyachenko), semigroups generated by the potential elements (V. M. Bondarenko, O. V. Zubaruk) and representations of direct products of the symmetric second-order semigroup (V. M. Bondarenko, E. M. Kostyshyn). Such semi- groups can have both a nite and in nite representation type. V. M. Bondarenko and Ja. V. Zatsikha described representation types of the third-order semigroups over a eld, and indicate the canonical form of the matrix representations for any semigroup of nite representation type. This article is devoted to the study of similar problems for oversemigroups of commutative semigroups.