Розширені бінарні коди Голея за груповою алгеброю однієї групи

Abstract

Розширені бінарні коди Голея є прикладом екстремальних бінарних самодуальних кодів типу ІІ (лінійних бінарних самодуальних кодів з відстаню Хемінга між довільними кодовими словами кратною 4, що має найбільшу можливу мінімальну відстань Хемінга серед таких кодів з фіксованою розмірністю простору кодових слів та їх довжиною). Такі коди вивчалися довгий період і було встановлено багато різних конструкцій для побудови цих кодів. Крім того, розширені бінарні коди Голея можна легко одержати з бінарних кодів Голея і навпаки. А останні є досконалими і разом з бінарними кодами Хемінга дають всі можливі параметри нетривіальних бінарних досконалих кодів.

У статті розглядається конструкція лінійних бінарних кодів, зокрема, розширених бінарних кодів Голея за груповою алгеброю F2G скінченної групи G=(C6×C2) ⋊ C2 порядку n=24 над полем з двох елементів F2. Розширений бінарний код Голея визначається як будь-який бінарний лінійний код, для якого довжина кодових слів рівна 24, розмірність підпростору кодових слів -- 12, а мінімальна відстань Хемінга коду -- 8, тобто будь-який лінійний бінарний [24,12,8]-код. При дослідженні даних кодів застосовуємо елементи теорії зображень, зокрема розглядаємо регулярне зображення v→σ(v) алгебри F2G. Для даного елемента v визначаємо бінарний код C(v), як підпростір простору Fn2 породжений рядками матриці σ(v). Було використано критерія самодуальних кодів C(v) для довільної скінченної групи G порядку 24 та знайдено легко вивірювані необхідні умови самодуальності бінарного коду C(v) для елементів v групової алгеброю F2G групи G=(C6×C2) ⋊ C2. В результаті числових обчислень, що передбачає перевірку знайдених необхідних умов, отримаємо кількість елементів v∈F2G, що C(v) є самодуальним кодом. Кількісні результати подані для порівняння з кількістю тих же елементів при умові v=v∗. Раніше в такому вигляді розширені бінарні коди Голея були знайдені тільки для елементів v, що v=v∗. При обчисленнях отримано всі 27 648 елементів v групової алгебри F2G, що C(v) є розширеним бінарним кодом Голея.

(linear binary self-dual codes with Hamming distance between arbitrary codewords which are multiples of 4 that has the highest possible minimum Hamming distance among such codes with a xed dimension of codeword space and their length). These codes have been studied for a long time and many di erent constructions have been established to build these codes. In addition, extended binary Golay codes are easy to obtain from binary Golay codes and vice versa. The latter are perfect codes and together with binary codes they give us all possible parameters of nontrivial binary perfect codes. In the paper the construction of linear binary codes, in particular of binary Golay codes extended by the group algebra F2G of nite group G = (C6 C2) o C2 of order n = 24 over the eld of two elements F2 has been considered. Extended binary Golay code is de ned as any binary linear code, for which the length of the codewords is 24, the dimension of the subspase of the codewords is 12 and the minimum Hamming distance of the code is 8, that is, any [24,12,8]-code. Considering these codes, we apply the elements of the presentation theory, in particular regular presentations v ! (v) of algebra F2G. For the element v we de ne the binary code C(v) as the subspace of Fn2 generated by the rows of the matrix (v). The criterion of self-dual codes C(v) for an arbitrary nite group G of order 24 was used and easily veri ed necessary conditions for binary code C(v) for elements v of group algebra F2G of the group G = (C6 C2) o C2 to be self-dual was found. As a result of numerical calculations which involves verifying the found necessary conditions, we get the number of elements v 2 F2G that C(v) is self-dual. Quantitative results for comparison with the number of the same elements when v = v are presented. Previously, in this form, extended binary Golay codes were found only for elements v that v = v . As a result of calculations we obtained all 27 648 elements v of group algebra F2G that C(v) is extended binary Golay code.