Please use this identifier to cite or link to this item:
https://dspace.uzhnu.edu.ua/jspui/handle/lib/33567
Full metadata record
DC Field | Value | Language |
---|---|---|
dc.contributor.author | Білецька, Д. Ю. | - |
dc.contributor.author | Шапочка, Ігор Валерійович | - |
dc.date.accessioned | 2021-02-24T14:42:16Z | - |
dc.date.available | 2021-02-24T14:42:16Z | - |
dc.date.issued | 2020 | - |
dc.identifier.citation | Білецька, Д. Ю. Про центральні ряди деяких черніковських p-груп / Д. Ю. Білецька, І. В. Шапочка // Науковий вісник Ужгородського університету : серія Математика і Інформатика / редкол. : М. М. Маляр, Г. І. Сливка-Тилищак та ін. – Ужгород : Говерла, 2020. – Вип. 2 (37). – С. 36–44. – Бібліогр. : с. 42–44 (7 назв). | uk |
dc.identifier.issn | 2616-7700 | - |
dc.identifier.uri | https://dspace.uzhnu.edu.ua/jspui/handle/lib/33567 | - |
dc.description.abstract | В цій роботі досліджується структура центрального ряду черніковської \(p\)-групи \(G\), яка містить максимальну повну абелеву підгрупу \(M\) індексу \(p\). Добре відомо, що така група є гіперцентальною групою. З іншого боку із теорії розширень груп також добре відомо, що будову цієї групи можна визначити за допомогою певного цілочислового $p$-адичного матричного зображення $\Gamma$ фактор-групи $G/M$ та елементом із другої групи гомологій \(H^2(G/M,M)\). Якщо група \(G\) має центральний ряд \(Z_1\subset Z_2\subset \ldots \subset Z_{\omega}\subset \ldots \subset G\), який є композиційним рядом, то число трансфінітних чисел множини індексів членів цього ряду будемо називати трансфінітною довжиною цього композиційного ряду. Вважатимемо, що \(G\) є адитивною групою, а \(\Gamma\) --- матричне цілочислове \(p\)-адичне зображення фактор-групи \(G/M\), індуковане гомоморфізмом \(f:g\to f_g\), \(g\in G\), із групи \(G\) в групу автоморфізмів \(\mathrm{Aut}\,M\), де \(f_g(m)=-g+m+g\), \(m\in M\). Нами показано, що трансфінітна довжина композиційного ряду групи \(G\) дорівнює кратності незвідної компоненти \(g+M\to 1\) зображення \(\Gamma\), якщо \(G\) є абелевою групою, і на одиницю більше цього числа, якщо ж \(G\) --- неабелева група. Нехай $\mathbb{C}_{p^\infty}$ --- адитивна квазіциклічна $p$-група, а $\mathbb{C}_{p^\infty}^n$ --- зовнішня пряма сума $n$ екземплярів квазіциклічної $p$-групи $\mathbb{C}_{p^\infty}$ для деякого натурального числа $n$. Добре відомо \cite{Kurosh}, що група $\mathrm{Aut}\,\mathbb{C}_{p^\infty}^n$ ізоморфна повній лінійній групі $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z}_p)$, де $\mathbb{Z}_p$ --- кільце цілих $p$\nobreakdash-адичних чисел. Тому надалі для довільної матриці $A\in \mathrm{GL}(n,\mathbb{Z}_p)$ та довільного елемента $c\in \mathbb{C}_{p^\infty}^n$ через $A(c)$ позначатимемо образ елемента $c$ при автоморфізмі, що відповідає матриці $A$. Нехай $\{a_r\:|$ $r\in\mathbb{N}_0\}$ --- множина всіх твірних елементів групи $C_{p^\infty}$, де $\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\cup \{0\}$, причому $pa_0=0$, $pa_r=a_{r-1}$ для довільного $r\in\mathbb{N}$. Розглянемо циклічну адитивну групу $H$ порядку $p$ з твірним елементом $h$ і деяке матричне зображення $\Gamma$ цієї групи степеня $n$ над кільцем $\mathbb{Z}_p$. Образ будь-якого елемента $h'$ групи $H$ позначатимемо через $\Gamma_{h'}$. Визначимо дію $\cdot$ групи $H$ на групі $\mathbb{C}_{p^\infty}^n$ за правилом \(h'\cdot c=\Gamma_{h'}(c)\) для довільних елементів $h'\in H$ і $c\in \mathbb{C}_{p^\infty}^n$. Підкреслимо, що ядро $\mathrm{Ker}\,\Gamma$ є підгрупою стабілізатора кожного елемента із $\mathbb{C}_{p^\infty}^n$. Нескладно переконатися, що множина \[\mathfrak{z}(\Gamma)=\{c\in\mathbb{C}_{p^\infty}^n\:|\:h\cdot c=c\}\] є підгрупою групи $\mathbb{C}_{p^\infty}^n$. Для матричного зображення $\Gamma$ групи $H$ та деякого елемента $c\in\mathfrak{z}(\Gamma)$ побудуємо групу $G(\Gamma, c)$ наступним чином: \[G(\Gamma, c)= H\times \mathbb{C}_{p^\infty}^n,\] а бінарна операція $+$ задається так \[ (ih,c_1)+(jh,c_2)=((i+j)h,\; \mu_{i,j}c+jh\cdot c_1+c_2), \] де $i$, $j\in\{0,1,\ldots,p-1\}$, $c_1, c_2\in \mathbb{C}_{p^\infty}^n$, \[\mu_{i,j}=\left\{\begin{array}{ll}0,&\text{якщо } i+j<p,\\1,&\text{якщо } i+j\ge p.\end{array}\right.\] В \cite{Hall} доведено, що таким чином побудована група є циклічним розширенням групи $\mathbb{C}_{p^\infty}^n$ за допомогою групи $H$, а як наслідок, є черніковською $p$-групою. В [1] описані з точністю до ізоморфізму всі черніковські $p$-групи, фактор-група яких за максимальною повною абелевою підгрупою є циклічною групою порядку $p$. Вони вичерпуються наступними групами: \[ G(n_1\Gamma_1+n_2\Gamma_2+n_3\Gamma_3,0), \quad G(\Gamma_1+n_1\Gamma_1+n_2\Gamma_2+n_3\Gamma_3,\mathfrak{c}^{(n_1(p-1)+n_2+n_3p)}) \] де \[\Gamma_1:h\to\tilde\varepsilon,\qquad \Gamma_2:h\to 1,\qquad \Gamma_3:h\to\begin{pmatrix}\tilde\varepsilon&\langle1\rangle\\0&1\end{pmatrix}\] --- всі попарно нееквівалентні нерозкладні матричні зображення циклічної групи \(H\) над кільцем \(\mathbb{Z}_p\); \(\tilde\varepsilon\), \(\langle1\rangle\) --- відповідно \((p-1)\times(p-1)\)- та \((p-1)\times 1\)-матриці над кільцем \(\mathbb{Z}_p\) вигляду: \[ \tilde\varepsilon=\begin{pmatrix}0&0&\ldots&0&-1\\1&0&\ldots&0&-1\\ 0&1&\ldots&0&-1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\ldots&1&-1\end{pmatrix},\quad \langle1\rangle= \begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix};\] \(n_1\), \(n_2\), \(n_3\in\mathbb{N}_0\); \(n_1\Gamma_1+n_2\Gamma_2+n_3\Gamma_3\) --- розкладне матричне зображення групи \(H\) з \(n_i\) екземплярами нерозкладного зображення \(\Gamma_i\) для \(i\in\{1,2,3\}\); \[ \mathfrak{c}^{(k)}=((p-1)a_0,(p-2)a_0,\ldots,a_0,\underbrace{0,\ldots,0}_{k\text{ раз}}),\quad k \in\mathbb{N}_0. \] В роботі для кожної з груп \[G(n_1\Gamma_1+n_2\Gamma_2+n_3\Gamma_3,0),\quad G(\Gamma_1+n_1\Gamma_1+n_2\Gamma_2+n_3\Gamma_3,\mathfrak{c}^{(n_1(p-1)+n_2+n_3p)})\] побудовано композиційний центральний ряд. | uk |
dc.description.abstract | In this paper, we study the structure of the central series of the Chernikov p-group G, which contains the maximum complete Abelian subgroup M of the index p. It is well known that such a group is a hypercental group. On the other hand, it is also well known from the theory of group extensions that the structure of this group can be determined by means of a certain integer p-adic matrix image of the factor group G=M and an element from the second group of homologies H2(G=M;M). If the group G has a central series Z1 Z2 : : : Z! : : : G, which is a composition series, the number of transfinite numbers of the set of indices of the members of this series will be called the transfinite length of this composition series. Assume that G is an additive group, and is a matrix representaion over the ring of p-adic integers of the factor group G=M induced by the homomorphism f : g ! fg, g 2 G, from the group G to the group of automorphisms | uk |
dc.description.sponsorship | AutM, where fg(m) = g +m+g, m 2 M. We have shown that the transfinite length of the composition series of the group G is equal to the number of the irreducible component g+M ! 1 of the representation , if G is an Abelian group, and one more of this number, if G — non-Abelian group. Let Cp1 be an additive quasicyclic p-group, and let Cnp 1 be an external direct sum n instances of the quasicyclic p-group Cp1 for some positive integer n. It is well known [1] that the group AutCnp 1 isomorphic to the complete linear group GL(n; Zp), where Zp the ring of p-adic integers. Therefore, in the future for an arbitrary matrix A 2 GL(n; Zp) and an arbitrary element c 2 Cnp 1 through A(c) denote the image of the element c in the automorphism that corresponds to the matrix A. Let far j r 2 N0g be the set of all generators of the group Cp1, where N0 = N [ f0g and pa0 = 0, par = ar1 for all r 2 N. Consider a cyclic additive group H of order p with a generating element h and some matrix image of this group of degree n over the ring Zp. The image of any element h0 of the group H is denoted by h0 . Determine the action of the group H on the group Cnp 1 by the rule h0 c = h0 (c) for arbitrary elements h0 2 H and c 2 Cnp 1. We emphasize that the kernel Ker is a subgroup of the stabilizer of each element with Cnp 1. It is easy to see that the set z() = fc 2 Cnp 1 j h c = cg is a subgroup of Cnp 1. For the matrix image of the group H and some element c 2 z() we construct the group G(; c) as follows: G(; c) = H Cnp 1; and the binary operation + is set as follows (ih; c1) + (jh; c2) = ((i + j)h; i;jc + jh c1 + c2); where i, j 2 f0; 1; : : : ; p 1g, c1; c2 2 Cnp 1, i;j = 0; if i + j < p; 1; if i + j p: In [2] it is proved that the group constructed in this way is a cyclic extension of the group Cnp 1 by the group H, and, as a consequence, is a Chernikov p-group. In [3], all Chernikov p-groups are described up to the isomorphism, the factor group of which by the maximum complete Abelian subgroup is a cyclic group of order p. They are limited to the following groups: G(n11 + n22 + n33; 0); G(1 + n11 + n22 + n33; c(n1(p1)+n2+n3p)) where 1 : h ! ~"; 2 : h ! 1; 3 : h ! ~" h1i 0 1 are all pairwise non-equivalent indecomposable matrix images of the cyclic group H over the ring Zp; ~", h1i are respectively (p1) (p1)- and (p1) 1-matrices over the ring Zp of the form: ~" = 0 BBBBB@ 0 0 : : : 0 1 1 0 : : : 0 1 0 1 : : : 0 1 ... ... . . . ... ... 0 0 : : : 1 1 1 CCCCCA ; h1i = 0 BBB@ 1 0... 0 1 CCCA ; n1, n2, n3 2 N0; n11 +n22 +n33 is a decomposable matrix representation of the group H with ni instances of the indecomposable component i for i 2 f1; 2; 3g; c(k) = ((p 1)a0; (p 2)a0; : : : ; a0; |0; :{:z: ; 0} ktimes ); k 2 N0: Íàóê. âiñíèê Óæãîðîä. óí-òó, 2020, âèï. 37, 2 ISSN 2616-7700 (print), 2708-9568 (online) 44 Ä. Þ. ÁIËÅÖÜÊÀ, I. Â. ØÀÏÎ×ÊÀ In the work for each of the groups G(n11 + n22 + n33; 0); G(1 + n11 + n22 + n33; c(n1(p1)+n2+n3p)) the composition central series is build. | uk |
dc.language.iso | uk | uk |
dc.publisher | Говерла | uk |
dc.relation.ispartofseries | Математика і інформатика; | - |
dc.subject | чернiковська група | uk |
dc.subject | гiперцентральна група | uk |
dc.subject | центральний ряд | uk |
dc.subject | матричне зображення групи | uk |
dc.subject | незвiдна компонента зображення | uk |
dc.subject | Chernikov group | uk |
dc.subject | hypercentral group | uk |
dc.subject | central series | uk |
dc.subject | matrix representation of group | uk |
dc.subject | irreducible component of representation | uk |
dc.title | Про центральні ряди деяких черніковських p-груп | uk |
dc.title.alternative | On central series of some Chernikov p-groups | uk |
dc.type | Text | uk |
dc.pubType | Стаття | uk |
Appears in Collections: | Науковий вісник УжНУ Серія: Математика і інформатика. Випуск №2 (37) - 2020 |
Files in This Item:
File | Description | Size | Format | |
---|---|---|---|---|
ПРО ЦЕНТРАЛЬНI РЯДИ.pdf | 696.01 kB | Adobe PDF | View/Open |
Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.