До статті Басса і Пайка

Abstract

В 1984 роцi Р. Пайк та Р. Басс [1] запропонували вивчати рiвномiрнi по класу множин граничнi теореми для випадкових величин, якi залежать вiд множин з певного класу. У цiй роботi доводиться природне узагальнення теореми Басс-Пайка про рiвномiрний пiдсилений закон великих чисел для випадкових процесiв, iндексованих множинами. Замiсть сум випадкових величин по множинах, як у Басса–Пайка, ми розглядаємо бiльш загальну ситуацiю випадкових зарядiв та мiр. Оскiльки рiвномiрний закон великих чисел для випадкових зарядiв та мiр не може виконуватись для довiльного класу множин, то ми використовуємо умову Басса-Пайка про рiвномiрну малiсть мiри Лебега δ-околiв множин класу. У випадку випадкових зарядiв ми використовуємо додаткову умову про iснування мажорантної мiри. Цю умову у випадку випадкових мiр можна, звичайно, опустити. Метод доведення основного результату цiєї статтi в цiлому є модифiкацiєю методу Басса-Пайка. У рядi наслiдкiв основного результату ми наводимо вiдповiднi результати для конкретних ситуацiй. Зокрема, у наслiдку 2 ми показуємо як можна позбутися додаткової умови для випадкових зарядiв. У наслiдку 4 розглянуто випадок не обов’язково незалежних або однаково розподiлених випадкових величин. Виявляється, що замiсть цього можна лише припустити, що виконується не рiвномiрний пiдсилений закон великих чисел. Бiльше того, гранична константа у цьому результатi не обов’язково має бути невипадковою. Для такої ж постановки у наслiдку 5 показано як можна позбутися додаткової умови, яку ми накладаємо на випадковi заряди. Нарештi у наслiдку 6 розглянуто випадок, коли випадкова мiра породжується певним випадковим процесом. Ще один основний результат цiєї статтi стосується рiвномiрного пiдсиленого закону великих чисел для аналога процесу вiдновлення. Як i у випадку сум незалежних однаково розподiлених випадкових величин, цей результат справджується у припущеннi iснування першого моменту. Жодного результата стосовно такого узагальненого процесу вiдновлення ранiше вiдомо не було.

In 1984, R. Pyke and R. Bass [4] proposed to study the limit theorems uniformly with respect to classes of sets for random variables that depend on sets of a certain class. This paper provides a natural generalization of the Bass–Pike theorem on the uniform law of large numbers for random processes indexed by sets. Instead of the sums of random variables indexed by sets, as in the Bass–Pike setting, we consider in Theorem 2 a more general situation of random charges and measures. Since the uniform law of large numbers for random charges and measures does not hold for an arbitrary class of sets, we use the Bass–Pyke condition imposed on the class. This condition means the uniform smallness of the Lebesgue measure of -neighborhoods of the sets. In the case of random charges, we use the additional condition on the existence of a majorant measure. This condition can, of course, be omitted in the case of random measures. The method of the proof of the main results of this article resembles the on in the Bass–Pyke paper. In a number of corollaries of the main result, we present the corresponding results for special cases. In particular, in Corollary 2 we show how to get rid of the additional condition for random charges. In Corollary 4, the case of not necessarily independent or equally distributed random variables is considered. It turns out that instead we can assume that the non-uniform strong law of large numbers is fulfilled. Moreover, the limit constant in this case is not necessarily random. does not have to be accidental. For the same setting, Corollary 5 shows how we can get rid of the additional condition that we impose on random charges. Finally, Corollary 6 considers the case where a random measure is generated by a certain stochastic process. Another main result of this paper, Theorem 3, applies to the uniform strong law of large numbers for an analogue of the renewal process. As in the case of sums of independent identically distributed random variables, this result holds under the assumption of the existence of the first moment. No results were previously known for such a generalized renewal process. Further studies of the uniformly strong law of large numbers will be concentrated in searching a condition simpler than the existence of a majorant measure. Some examples of situations in which this condition can be omitted, are given in the corollaries to Theorem 1. However, in the general case, this condition cannot be omitted.