Інтегрування двоточкової крайової задачі для вироджених диференціальних систем з імпульсною дією

Abstract

При математичному описаннi рiзного роду процесiв i явищ в електронiцi, радiотехнiцi, економiцi, бiологiї часто приходять до необхiдностi дослiдження вироджених систем диференцiальних рiвнянь, зокрема, систем з виродженою матрицею при похiднiй. Частина науковцiв називає такi системи диференцiально-алгебраїчними. Вони вирiзняються складнiстю при дослiдженнях, оскiльки навiть у випадку лiнiйних систем i неперервних функцiй задача Кошi може не мати розв’язкiв. У лiнiйному випадку для дослiдження таких систем розроблено низку методiв - за допомогою досконалих пар i трiйок матриць, псевдообернених за Муром-Пенроузом матриць та шляхом зведення до центральної канонiчної форми. Суттєво складнiшою є проблема встановлення конструктивних достатнiх умов iснування та розробка i обгрунтування методiв побудови розв’язкiв задачi Кошi для нелiнiйних систем з виродженою матрицею при похiднiй. Бiльшiсть науковцiв використовують для цього модифiкацiї рiзного роду числових методiв. Суттєво складнiшою є задача розробки методiв наближеного iнтегрування крайових задач для таких систем. Важливою є проблема розробки методiв побудови розв’язкiв задачi Кошi для нелiнiйних систем з виродженою матрицею при похiднiй. Бiльшiсть науковцiв використовують для цього модифiкацiї рiзного роду числових методiв. Суттєво складнiшою є проблема встановлення конструктивних достатнiх умов iснування та розробка i обгрунтування методiв наближеного iнтегрування крайових задач для таких систем. Свою ефективнiсть для дослiдження надзвичайно широкого класу крайових задач показав чисельно-аналiтичний метод А.М.Самойленка. Останнiм часом розроблено його модифiкацiї для наближеного iнтегрування крайових задач для нелiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь з виродженою матрицею при похiднiй. У данiй роботi використовується апарат псевдообернених за Муром-Пенрозуом матриць та ортопроекторiв. Запропоновано модифiкацiю чисельно-аналiтичного методу з метою розширення його використання на дослiдження iснування та наближену побудову розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних систем з виродженою матрицею при похiднiй, якi пiддаються iмпульсному впливу i пiдпорядкованi лiнiйним нероздiленим двоточковим крайовим обмеженням. Розглянуто критичний випадок - коли вiдповiдна лiнiйна однорiдна вироджена крайова задача має ненульовi розв’язки. Встановлено необхiднi та конструктивнi достатнi умови iснування розв’язкiв, знайдено оцiнки похибки побудованих наближених розв’язкiв.

It is often necessary to study degenerate systems of differential equations, in particular, systems with degenerate matrix at the derivative, in the mathematical description of various processes and phenomena in electronics, radio engineering, economics and biology. Some scientists call such systems differential-algebraic. These systems are difficult to study because, even in the case of linear systems and continuous functions, the Cauchy problem may have no solutions. A number of methods have been developed for the analysis of such systems in the linear case such as analysis with the help of pairs and triplets of matrices, by the Moore-Penrose Pseudoinverse matrices and by reduction to the central canonical form. The problem of finding constructive sufficient conditions of the existence and developing of methods for constructing solutions of the Cauchy problem for nonlinear systems with a degenerate matrix at the derivative is much more complicated. Most scientists use modifications of various numerical methods for this purpose. The task of developing methods for the approximate integration of boundary value problems for such systems is much more complex. An important problem is the development of methods for constructing solutions of the Cauchy problem for nonlinear systems with a degenerate matrix at the derivative. Most scientists use modifications of various numerical methods for this purpose. The problem of establishing constructive sufficient conditions of existence and development of methods of approximate solution of boundary value problems for such systems is much more complicated. The numerical-analytical method of A.M. Samoilenko has shown the efficiency for the research of extremely wide class of boundary value problems. Recently, the modifications of this method have been developed for the approximate solution of boundary value problems for nonlinear systems of ordinary differential equations with a degenerate matrix at the derivative. In this paper we use methods of the Moore Penrose Pseudoinverse matrices and orthoprojectors. A modification of the numerical-analytical method is proposed in order to expand its use to study the existence and approximate construction of solutions of nonlinear differential systems with a degenerate matrix at the derivative, with impulse action and under a linear undivided boundary restriction. A critical case, when the corresponding linear homogeneous degenerate boundary value problem has nonzero solutions, is considered. Necessary and constructive sufficient conditions for the existence of solutions have been established, and the error estimates of the constructed approximate solutions have been found.