On quasi-prime differential semiring ideals

Abstract

Поняття квазiпервинного iдеалу було вперше введено в комутативних диференцiальних кiльцях, тобто комутативних кiльцях, якi розглядаються разом iз заданим на них диференцiюванням, як диференцiальний iдеал, максимальний серед диференцiальних iдеалiв, якi не перетинаються iз деякою мультиплiкативно-замкненою пiдмножиною кiльця. Поняття диференцiювання у напiвкiльцi традицiйно визначають як адитивне вiдображення, яке задовольняє правило Лейбнiца. У зв’язку з швидким розвитком теорiї напiвкiлець в останнi роки, виникла потреба у вивченнi iдеалiв, якi визначаються подiбними властивостями у напiвкiльцях. Ця стаття присвячена дослiдженню поняття квазiпервинного iдеалу в диференцiальних напiвкiльцях (якi означаються як напiвкiльця разом iз диференцiюванням, заданому на них), якi не обов’язково комутативнi. Метою статтi є показати, як квазiпервиннi iдеали пов’язанi з первинними диференцiальними iдеалами, примарними iдеалами, максимальними iдеалами та iншими типами iдеалiв у напiвкiльцях. Стаття складається з двох основних частин. У першiй частинi автор дослiджує деякi властивостi квазiпервинних диференцiальних iдеалiв, а також подає деякi приклади таких iдеалiв, зокрема первиннi диференцiальнi, максимальнi диференцiальнi та iдеали, якi можна отримати в результатi дiї оператора диференцiювання на первиннi iдеали напiвкiльця. У цiй частинi подано теорему, у якiй даються еквiвалентнi умови того, що квазiпервинний iдеал є первинним. У другiй частинi статтi розглядаються ланцюги квазiпервинних iдеалiв. У цiй частинi встановлено взаємозв’язки мiж квазiпервинними iдеалами та iншими типами диференцiальних iдеалiв напiвкiлець. В однiй з теорем подано характеризацiю таких iдеалiв у випадку комутативних напiвкiлець. У цiй характеризацiї використовуються поняття радикалу iдеалу напiвкiльця та оператор диференцiювання в напiвкiльцях. На завершення статтi подано теорему про те, що кожний ланцюг квазiпервинних iдеалiв напiвкiльця має точну верхню i точну нижню межу. Також доведено, що кожний квазiпервинний iдеал, який мiстить деякий диференцiальний iдеал, мiстить квазiпервинний iдеал, мiнiмальний серед усiх квазiпервинних iдеалiв даного напiвкiльця, якi мiстять вищезгаданий диференцiальний iдеал.

The notion of a quasi-prime ideal, for the first time, was introduced in differential commutative rings, i.e. commutative rings considered together with a derivation, as differential ideals maximal among those not meeting some multiplicatively closed subset of a ring. The notion of a semiring derivation is traditionally defined as an additive map satisfying the Leibnitz rule. Due to rapid development of semiring theory in recent years, the need of considering ideals in semirings defined by similar conditions arose. The present paper is devoted to investigating the notion of a quasi-prime ideal of differential semiring (which is defined as a semiring together with a derivation on it), not necessarily commutative. It aims to show, how quasi-prime ideals are related to prime differential ideals, primary ideals, maximal ideals and other types of ideals of semirings. The paper consists of two main parts. In the first part, the author investigates some properties of quasi-prime differential ideals, and gives some examples of such semiring ideals, such as prime differential, maximal differential ideals, or ideal obtained by derivation operator acting on a prime ideal of a semiring. It contains a theorem, which gives equivalent conditions for a quasi-prime semiring ideal to be prime. The second part of the paper is devoted to considering chains of quasi-prime ideals. In this part, the interrelation between quasi-prime ideals and other types of differential ideals of semirings is established. It contains a theorem, which gives a characterization of such ideals in case of a commutative semiring. This characterization involves the notion of the radical of an ideal of a semiring and a derivation operator for semirings. The paper ends with a theorem, which states that every chain of quasi-prime ideals of a semiring has the least upper bound and the greatest lower bound. It is also proven that every quasi-prime ideal containing some differential ideal contains a quasi-prime ideal minimal among all the quasi-prime ideals of the given semiring, which contain the above mentioned differential ideal.