Екваціональні дослідження нульарних алгебр, алгебр булевого кубу та кубу Жегалкіна

Abstract

У данiй роботi проведенi дослiдження над булевими унiверсальними алгебрами, в сигнатуру яких входять нульарнi, унарнi та частина бiнарних булевих операцiй. Побудованi еквацiональнi та сигнатурнi решiтки класу тривiальних алгебр. Елементи решiток представляються у виглядi квадрата. Клас унiверсальних булевих алгебр складається з восьми алгебр, в сигнатуру яких входять операцiї кон’юнкцiї, диз’юнкцiї та заперечення. Вони утворюють сигнатурнi i еквацiональнi куби. Для тривiальних алгебр i всiх алгебр булевого кубу знайденi повнi системи тотожностей. Повнота систем тотожностей доводиться за допомогою алгоритмiв, якi дозволяють привести формули вiдповiдних алгебр до стандартних канонiчних виглядiв. Куб Жегалкiна складається з восьми алгебр, в сигнатуру яких входять операцiї одиниця, сума та множення за модулем два. Для алгебр кубу Жегалкiна побудована еквацiональна решiтка

In this paper, investigation of Boolean universal algebras, the signature of which includes zero, unary and part of binary Boolean operations is conducted. Equational and signature lattices of the class of trivial algebras are constructed. Lattice elements are represented as a square. The class of universal Boolean algebras consists of 8 algebras. The signature of these algebras contains operations of conjunction, disjunction, and negation. They form signature and equational cubes. Complete systems of identities have been found for trivial algebras and all algebras of a Boolean cube. The completeness of identity systems is proved by algorithms that allow to bring the formulas of the corresponding algebras to standard canonical forms. The Zhegalkin cube consists of 8 algebras, the signature of which includes element 1, arithmetic operation of addition mod 2 and arithmetic operation of multiplication. An equational lattice of this class have been constructed for the algebras of the Zhegalkin cube.