2-Спадкова звiднiсть циклiчних мономiальних матриць iз фіксованими визначальними послiдовностями над комутативним локальним кiльцем

Abstract

Властивостi канонiчно циклiчних та ланцюгових мономiальних матриць над ко- мутативними кiльцями вивчалися в багатьох роботах, зокрема їх звiднiсть та незвi- днiсть, розкладнiсть i нерозкладнiсть. Вiдомi критерiї незвiдностi канонiчно циклi- чних матриць малого порядку n над комутативним локальним кiльцем K з радикалом R = tK /= 0 (n < 7 для R /= 0 i n < 5 для R2 /= 0), а також необхiдна умова незвiдно- стi канонiчно циклiчних матриць довiльної ваги, в якiй основну роль вiдiграє зв’язок мiж порядком та вагою матрицi. При дослiдженнi канонiчно циклiчних мономiальних матриць порядку n розглядалися рiзнi типи звiдностi: (∗, 2)-звiднiсть, (∗, 3)-звiднiсть та 2-спадкова звiднiсть. В роботi розглядається комутативне локальне кiльце K з не- нульовим радикалом R = RadK i ненульовий нiльпотентний елемент t ∈ R такий, що tm = 0, де m – степiнь нiльпотентностi елемента t. Для канонiчно циклiчних матриць визначенi визначальнi та ваговi послiдовностi. Вивчаються достатнi умови звiдностi канонiчно циклiчних матриць великої ваги над комутативним локальним кiльцем K. Доведена 2-спадкова звiднiсть канонiчно (t, ∗)-циклiчних мономiальних матриць великої ваги порядку n над комутативним локальним кiльцем у випадку, ко- ли їх визначальнi послiдовностi мiстять в собi пiдпослiдовностi фiксованого вигляду. Пiд пiдпослiдовнiстю послiдовностi завжди розумiється зв’язна (з точнiстю до циклi- чної перестановки послiдовностi) пiдпослiдовнiсть. Основними методами дослiдження є методи теорiї зображень та матричних задач, метод елементарних перетворень ма- триць з комбiнаторними аспектами. Ключовi слова: мономiальна матриця, канонiчно циклiчна матриця, комутативне кiльце, визначальна послiдовнiсть, звiднiсть, спадкова звiднiсть.

Properties of canonically cyclic monomial matrices over commutative rings were studied in many works, in particular, their reducibility and irreducibility, properties of decompos- able and indecomposable matrices. The criterion of the irreducibility of canonically cyclic small-order matrices over a commutative local ring K with the radical R = tK /= 0 (n < 7 for R /= 0 and n < 5 for R2 /= 0) is known, as well as the necessary condition for the irre- ducibility of canonically cyclic matrices of arbitrary weight in which a relation between the order and weight of the matrix plays a major role. In the study of canonically cyclic matri- ces we considered various types of the reducibilities: (∗, 2)-reducibility, (∗, 3)-reducibility and 2-hereditary reducibility. In the paper we consider a commutative local ring with the radical R = tK /= 0 and nilpotent element t ∈ R such that tm = 0, where m is the de- gree of nilpotency of the element t. For the canonically cyclic matrices the determining and weight sequences are defined. We study sufficient conditions for the reducibility of canonically cyclic matrices of larger weight over a commutative local ring K. It is proved the 2-hereditary reducibility of canonically (t, ∗)-cyclic monomial matrices of order n over a commutative local ring in the case when their defining sequences contain subsequences of a fixed form. The subsequence of the determining sequence is a connected (according to cyclic rearrangement of the sequences) subsequence. The main methods of research are methods of the theory of images and the method of elementary transformations of matrices with combinatorial aspects. Keywords: monomial matrix, canonically cyclic matrix, commutative ring, determining sequence, reducibility, hereditary reducibility.