Оцiнка швидкостi збiжностi в центральнiй граничнiй теоремi для послiдовностi серiй

Abstract

Граничнi теореми теорiї ймовiрностей мають широке застосування у рiзних галу- зях науки i виробництва. Адже вони вивчають властивостi рiзних випадкових вели- чин, що формуються пiд впливом значної кiлькостi випадкових чинникiв, кожен з яких, в свою чергу, має незначний вплив на кiнцевий результат, але сумарний вплив цих чинникiв є суттєвим. Задачi, якi розв’язуються в межах цiєї галузi, можна умов- но роздiлити на два типи. Першi дослiджують сам факт збiжностi суми випадкових доданкiв, а другi вивчають швидкiсть цiєї збiжностi. Дана робота присвячена якраз другому питанню. Оцiнками швидкостi збiжностi у граничних теоремах займалося чимало дослiдникiв. Щоправда, до середини минулого столiття цi оцiнки формулюва- лися в термiнах абсолютних моментiв, що мало принаймнi два недолiки. Насамперед, iснування абсолютних моментiв є досить жорсткою умовою, що суттєво звужує коло випадкових величин, до яких можна застосувати данi оцiнки. I по-друге, оцiнки, що виражаються через абсолютнi моменти, не враховують близькостi розподiлiв доданкiв до граничного. Незважаючи на це, iснує велика кiлькiсть оцiнок, починаючи з нерiвно- стi Беррi – Ессеена i закiнчуючи дослiдженнями сучасних вчених, що використовують саме абсолютнi моменти. Способом, що дозволив уникнути обох недолiкiв оцiнок, ста- ло використання псевдомоментiв. Псевдомомент – це числова характеристика, яка за своєю структурою виражається через рiзницю функцiй розподiлу дослiджуваної та граничної випадкових величин. Тому у випадку рiвностi цих розподiлiв псевдомомент рiвний нулю, що дозволяє здiйснити бiльш точну оцiнку. Структура цих характери- стик може бути дуже рiзноманiтною, що дозволяє використати псевдомомент такого вигляду, який зручний саме для даної конкретної задачi. У статтi використано хара- ктеристики, аналогiчнi до тих, що введенi В. М. Золотарьовим. З їх допомогою ви- вчається швидкiсть збiжностi розподiлiв сум незалежних випадкових величин до нор- мального закону в схемi серiй. Обмеження, якi при цьому накладаються на випадковi доданки, є не надто суворими – вимагається рiвнiсть нулю математичного сподiвання

i скiнченнiсть дисперсiй кожного доданка. Натомiсть одержано оцiнки швидкостi збi- жностi, що виражаються через псевдомоменти рiзного виду. Також у роботi отримано оцiнки для характеристичних функцiй, якi теж виражаються через вказанi характе- ристики. Вони необхiднi для доведення основних результатiв, але мають i самостiйне значення. Ключовi слова: центральна гранична теорема, оцiнка швидкостi збiжностi, послi- довнiсть серiй випадкових величин.

Boundary theorems of probability theories are widely applicable in various fields of sci- ence and manufacture. It is reasonable as they deal with properties of different random values formed under the influence of a great deal of random factors each of which in its turn has a minor influence on the final result but the total influence of these factors is essential. Problems that are solved within this field may be conditionally divided into two types. The first ones are concerned with the fact of the convergence of a sum of ran- dom summands while the second ones deal with the rate of the convergence. The work is devoted to the latter issue. A lot of researchers have studied estimations of convergence rate in boundary theorems. But it should be mentioned that until the middle of the last century the estimations were formed with the help of terms of absolute moments, and that had at least two drawbacks. Firstly, the existence of absolute moments is rather a strict

condition restricting an area of random values a lot to which the given estimations may be applied. Secondly, the estimations that are expressed in terms of absolute moments do not presuppose the proximity of boundary distribution of summands. In spite of it there is a great quantity of estimations beginning from Berry–Esseen inequality and ending with investigations of contemporary scientists using the very absolute moments. The usage of pseudomoments has become the way of allowing to avoid both drawbacks of estimations. A pseudomoment is a numerical characteristic which according to its structure is expressed in terms of the difference of functions of distribution of observable and boundary random values. So, in case of equivalency of these distributions the pseudomoment is equal to zero and it makes possible to receive a more accurate estimation. The structure of the charac- teristics may vary greatly and it enables to use a pseudomoment which is appropriate to a certain specific problem. In the article we have used analogical characteristics introduced by V.M. Zolotariov. By means of them the rate of convergence of distributions of sums of independent random values to normal law in a series circuit. In this case restrictions imposed on random summands are not too strict - mathematical expectation is to be equal to zero and dispersion of each summand is to be finite. Meanwhile, we have obtained estimations of convergence rate expressed in terms of pseudomoments of different types. We have also received estimations of characteristic functions expressed also in terms of mentioned characteristics. They are essential for proving major results but they are also of independent importance. Keywords: central imit theorem, the estimate of rate of convergence, sequence of series of random variables.