Про алгебру Ауслендера напiвгрупи, породженої двома анульовними 2-нiльпотентним i 2-потентним елементами

Abstract

Напiвгрупи третього порядку вперше описав у 1953 р. Т. Тамура, а згодом, у 1955 р. (за допомогою комп’ютерної програми) Г. Е. Форсайт. В обох випадках опис отрима- но в термiнах таблиць Келi з точнiстю до iзоморфiзму та антиiзоморфiзму. Iснує 18 рiзних напiвгруп третього порядку (напiвгрупи S i T називаються антиiзоморфними, якщо напiвгрупа S iзоморфна напiвгрупi T op, дуальнiй до напiвгрупи T ). Мiнiмальнi системи твiрних та вiдповiднi визначальнi спiввiдношення для всiх таких напiвгруп побудованi в працях В. М. Бондаренка i Я. В. Зацiхи. Зокрема, для комутативних напiвгруп вони такi (в круглих дужках вказано всi елементи напiвгрупи, а в кутових дужках вказано мiнiмальну систему твiрних; тривiальнi визначальнi спiввiдношення для одиничного i нульового твiрних e i 0, якщо вони є, не виписуються): 1) (0, b, c) = (b, c): b2 = 0, c2 = 0, bc = cb = 0; 2) (0, c2, c) = (c): c3 = 0; 3) (0, b, c) = (b, c): b2 = 0, c2 = c, bc = cb = 0; 4) (0, b, e) = (b, e): b2 = 0; 5) (0, b, c) = (b, c): b2 = b, c2 = c, bc = cb = 0;

6) (0, c2, c) = (0, c): c3 = c2; 7) (0, b, e) = (0, b, e): b2 = b; 8) (0, e, c) = (0, c): c2 = e; 9) (c2, b, c) = (b, c): b3 = b2, c3 = c, b2 = c2, bc = cb = c; 10) (c2, e, c) = (e, c): c3 = c; 11) (c2, c3, c) = (c): c4 = c2; 12) (e, b, b2) = (b): b3 = e. Вони ж описали зображувальний тип напiвгруп третього порядку над полем i вка- зали канонiчну форму матричних зображень для напiвгруп скiнченного зображуваль- ного типу (тобто таких, якi мають, з точнiстю до еквiвалентностi, скiнченне число не- розкладних зображень). Автор, разом з В. М. Бондаренком, описали зображувальний тип стандартних наднапiвгруп напiвгрупи, породженої двома взаємно анульовними 2- нiльпотентним i 2-потентним елементами. У цiй статтi для єдиної такої (з точнiстю до iзоморфiзму та антиiзоморфiзму) наднапiвгрупи скiнченного зображувального типу описана їхня матрична алгебра Ауслендера як одна iз форм задання категорiї зобра- жень. Ключовi слова: поле, напiвгрупа i наднапiвгрупа, антиiзоморфiзм, визначальнi спiв- вiдношення, матричнi зображення, зображувальний тип, канонiчна форма, алгебра услендера.