Блочне розщеплення системи лiнiйних матричних диференцiальних рiвнянь

Abstract

При математичному описаннi рiзноманiтних явищ i процесiв, що виникають в ма- тематичнiй фiзицi, електротехнiцi, економiцi, доводиться мати справу з матричними диференцiальними рiвняннями. Тому такi рiвняння є актуальними як для матема- тикiв, так i для фахiвцiв в iнших галузях природознавства. В данiй статтi розгля- дається система M лiнiйних матричних диференцiальних рiвнянь з коефiцiєнтами, зображуваними у виглядi абсолютно та рiвномiрно збiжних рядiв Фур’є з повiльно змiнними в певному сенсi коефiцiєнтами та частотою (клас F ), причому ця система близька до блочно-дiагональної системи з повiльно змiнними коефiцiєнтами. Шукає- ться перетворення з коефiцiєнтами аналогiчного типу, що приводить цю систему до суто блочно-дiагонального вигляду. Вiдносно коефiцiєнтiв цього перетворення одер- жується квазiлiнiйна система матричних диференцiальних рiвнянь, яка розпадається на M незалежних пiдсистем, кожна з яких має вигляд деякої допомiжної нелiнiйної системи. Для цiєї допомiжної системи методом послiдовних наближень отримано умо- ви iснування у неї розв’язкiв класу F , а потiм на пiдставi цього результату отримано умови iснування шуканого перетворення. Ключовi слова: Матричнi диференцiальнi рiвняння, ряди Фур’є, повiльно змiннi параметри.

In the mathematical description of various phenomena and processes that arise in math- ematical physics, electrical engineering, economics, one has to deal with matrix differential equations. Therefore, these equations are relevant both for mathematicians and for spe- cialists in other areas of natural science. This article considers a system of M linear matrix differential equations with coefficients representable as Fourier series with coefficients and frequency slowly varying in a certain sense (class F ), and this system is close to a block- diagonal system with slowly varying coefficients. A transformation with coefficients of a similar type is sought, which leads this system to a purely block-diagonal form. With respect to the coefficients of this transformation, a quasilinear system of matrix differential equations is obtained, which decomposes into M independent subsystems, each of which has the form of some auxiliary nonlinear system. For this auxiliary system, by the method of successive approximations, conditions are obtained for the existence of class F for its solutions, and then, on the basis of this result, conditions for the existence of the desired transformation are obtained. Keywords: Matrix differential equations, Fourier series, slowly varying parameters.