On transitivity coefficient of posets of ММ-type to be oversupercritical non-primitive

Abstract

M. M. Kleiner proved that a poset 𝑆 has finite representation type if and only if it does not contain subposets of the form (1, 1, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 3, 3), (1, 2, 5), (N, 4). These posets are called the Kleiner’s posets and are (up to isomorphism) all the critical posets relative to the finiteness of type (i.e. minimal posets having infinite representation type). Later Yu. A. Drozd proved that a poset 𝑆 has finite representation type if and only if the quadratic form 𝑞𝑆(𝑧) =: 𝑧2 0 + Σ︁ 𝑖∈𝑆 𝑧2 𝑖 + Σ︁ 𝑖<𝑗,𝑖,𝑗∈𝑆 𝑧𝑖𝑧𝑗 − 𝑧0 Σ︁ 𝑖∈𝑆 𝑧𝑖, which is called the Tits quadratic form of 𝑆, is weakly positive (i.e., positive on the set of non-negative vectors). Thus, the Kleiner’s posets are critical relative to weak positivity of the Tits quadratic form. In 2005 the authors proved that a poset is critical relative to the positivity of the Tits quadratic form if and only if it is minimax isomorphic to a Kleiner’s poset. An analogous situation takes place for posets of tame representation type. L. A. Nazarova proved that a poset 𝑆 is tame if and only if it does not contain subsets of the form (1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (2, 2, 3), (1, 3, 4), (1, 2, 6), (N, 5). These posets are critical relative to weak non-negativity of the Tits quadratic form and are called supercritical. In 2009 the authors proved that a poset is critical relative to non-negativity of the Tits quadratic form if and only if it is minimax isomorphic to a supercritical poset. The first author suggested to introduce so-called oversupercritical (or 1-oversupercritical) posets, which differ from the supercritical ones in the same degree as the supercritical posets differ from the critical ones. Among these posets, there is a single non-primitive poset, i.e. which is not a direct sum of chains. In this paper, we describe all posets that are minimax isomorphic to them and study some of their combinatorial properties. The importance of studying minimax isomorphic posets is determined by the fact that their Tits quadratic forms are Z-equivalent, and minimax isomorphism itself is a fairly general constructively defined Z-equivalence of the Tits quadratic forms for posets. Keywords: representation, critical and supercritical poset, oversupercritical poset, Tits quadratic form, finite and tame representation type, positivity and non-negativity, transitivity coefficient.

Бондаренко В. М., Стьопочкiна М. В. Про коефiцiєнти транзитивностi частково впорядкованих множин, що мають надсуперкритичний непримiтивний 𝑀𝑀-тип. М. М. Клейнер довiв, що ч. в. (частково впорядкована) множина 𝑆 має скiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли вона не мiстить ч. в. пiдмножин вигляду (1, 1, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 3, 3), (1, 2, 5), (N, 4). Цi ч. в. множини називаються ч. в. множинами Клейнера i є (з точнiстю до iзоморфi- зму) всiма критичними ч. в. множинами щодо скiнченностi типу (в тому сенсi, що це мiнiмальнi ч. в. множини нескiнченного зображувального типу). Пiзнiше Ю. А. Дрозд довiв, що ч. в. множина 𝑆 має скiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли квадратична форма 𝑞𝑆(𝑧) =: 𝑧2 0 + Σ︁ 𝑖 𝑖𝑛𝑆 𝑧2 𝑖 + Σ︁ 𝑖<𝑗,𝑖,𝑗 𝑖𝑛𝑆 𝑧𝑖𝑧𝑗 − 𝑧0 Σ︁ 𝑖 𝑖𝑛𝑆 𝑧𝑖, яка називається квадратичною формою Тiтса множини 𝑆, є слабко додатною (тобто додатною на множинi невiд’ємних векторiв). Отже, ч. в. множини Клейнера є критич- ними щодо слабкої додатностi квадратичної форми Тiтса. У 2005 роцi автори довели що ч. в. множина є критичною щодо додатностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона мiнiмаксно iзоморфна деякiй ч. в. множинi Клейнера. Подiбну ситуацiю маємо для ч. в. множин ручного зображувального типу. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множина 𝑆 є ручною тодi i лише тодi, коли вона не мiстить ч. в. пiдмножин вигляду (1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (2, 2, 3), (1, 3, 4), (1, 2, 6), (N, 5). Цi ч. в. множини є критичними щодо слабкої невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса i називаються суперкритичними. У 2009 роцi автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона мiнiмаксно iзоморфна деякiй суперкритичнiй ч. в. множинi. Перший автор запропо- нував ввести так званi надсуперкритичнi (або 1-надсуперкритичнi) ч. в. множини, якi вiдрiзняються вiд суперкритичних ч. в. множин в тiй самiй мiрi, що i останнi вiдрiз- няються вiд критичних. Серед цих ч. в. множин є єдина не примiтивна, тобто яка не є прямою сумою ланцюгiв. У цiй статтi ми описуємо всi ч. в. множини, якi мiнiмаксно iзоморфнi їй, i вивчаємо деякi їхнi комбiнаторнi властивостi. Важливiсть вивчення мiнiмаксно iзоморфних ч. в. множин визначається тим, що їх квадратичнi форми Тiтса Z-еквiвалентнi, а сам мiнiмаксний iзоморфiзм є досить загальною конструктив- но визначеною Z-еквiвалентнiстю для квадратичних форм Тiтса ч. в. множин. Ключовi слова: зображення, критична та суперкритична ч. в. множина, надсупер- критична ч. в. множина, квадратична форма Тiтса, скiнченний i ручний зображу- вальний тип, додатнiсть i слабка додатнiсть, негативнiсть i слабка негативнiсть.