Some properties of differential, quasi-prime and differentially prime subsemimodules

Abstract

The notion of a semiring derivation is traditionally defined as an additive map satisfying the Leibnitz rule, i. e. a map 𝛿 : 𝑅 → 𝑅 is called a derivation on 𝑅 if 𝛿 (𝑎 + 𝑏) = 𝛿 (𝑎)+𝛿 (𝑏) and 𝛿 (𝑎𝑏) = 𝛿 (𝑎) 𝑏 + 𝑎𝛿 (𝑏) for any 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. The notion of a quasi-prime ideal, for the first time, was introduced in differential commutative rings, i.e. commutative rings considered together with a derivation, as a differential ideal maximal among those disjoint from some multiplicatively closed subset of a ring. A subsemimodule 𝑃 of a semimodule 𝑀 is called prime if for any ideal 𝐼 of 𝑅 and any subsemimodule 𝑁 of 𝑀 the inclusion 𝐼𝑁 ⊆ 𝑃 follows 𝑁 ⊆ 𝑃 or 𝐼 ⊆ (𝑃 : 𝑀). A differential subsemimodule 𝑃 of 𝑀 is called a differentially prime subsemimodule if for any 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ N0, 𝑟𝑚(𝑘) ∈ 𝑃 follows 𝑟 ∈ (𝑃 : 𝑀) or 𝑚 ∈ 𝑃. The present paper is devoted to investigating the notions of differential subsemimodule, differentially prime subsemimodule, and quasi-prime subsemimodule of a differential semimodule (which is defined as a semimodule together with a derivation on it related to the corresponding semiring derivation), not necessarily commutative. The objective of the article is to investigate some properties of such subsemimodules, and to show the interrelation between quasi-prime ideals and differentially prime subsemimodule in case of differential semimodules satisfying the ascending chain condition for differential subsemimodules. The paper consists of two main parts. In the first part, the author investigates some properties of differential subsemimodules and the corresponding differential ideals, and gives some examples of such subsemimodules. The second part of the paper is devoted to considering the connection existing between quasi-prime subsemimodules and differentially prime subsemimodules. It is established that a differential subsemimodule 𝑁 of 𝑀 is differentially prime if and only if 𝑁 is a quasi-prime subsemimodule for a differential semimodule 𝑀 satisfying the ascending chain condition for differential subsemimodules. Keywords: semimodule derivation, semiring derivation, differential semimodule, differential semiring, differential ideal, differential subsemimodule, differentially prime subsemimodule, quasi-prime subsemimodule.

Мельник I. O., Коляда Р. В., Мельник О. М. Деякi властивостi диферен- цiальних, квазiпервинних та диференцiально-первинних пiднапiвмодулiв Поняття диференцiювання напiвкiльця традицiйно визначають як адитивне вiд- ображення, яке задовольняє правило Лейбнiца, тобто вiдображення 𝛿 : 𝑅 → 𝑅 на- зивають диференцiюванням напiвкiльця 𝑅, якщо 𝛿 (𝑎 + 𝑏) = 𝛿 (𝑎) + 𝛿 (𝑏) i 𝛿 (𝑎𝑏) = 𝛿 (𝑎) 𝑏 + 𝑎𝛿 (𝑏) для будь-яких 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅. Поняття квазiпервинний iдеал було вперше введено в комутативних диференцiальних кiльцях, тобто комутативних кiльцях, якi розглядаються разом iз заданим на них диференцiюванням, як диференцiальний iде- ал, максимальний серед диференцiальних iдеалiв, якi не перетинаються iз деякою мультиплiкативно-замкненою пiдмножиною кiльця. Пiднапiвмодуль 𝑃 напiвмодуля 𝑀 називають первинним, якщо для будь-якого iдеалу 𝐼 напiвкiльця 𝑅 та будь-якого пiд- напiвмодуля 𝑁 напiвмодуля 𝑀 з 𝐼𝑁 ⊆ 𝑃 випливає 𝑁 ⊆ 𝑃 або 𝐼 ⊆ (𝑃 : 𝑀). Диференцi- альний пiднапiвмодуль 𝑃 напiвмодуля 𝑀 називають диференцiально-первинний пiд- напiвмодуль, якщо для будь-яких 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀, 𝑘 ∈ N0 з 𝑟𝑚(𝑘) ∈ 𝑃 випливає, що 𝑟 ∈ (𝑃 : 𝑀) або 𝑚 ∈ 𝑃. Ця стаття присвячена дослiдженню понять диференцiальний пiднапiвмодуль, ди- ференцiально-первинний пiднапiвмодуль, квазiпервинний пiднапiвмодуль в дифе- ренцiальних напiвмодулях (якi означаються як напiвмодулi разом iз диференцiюван- ням, заданому на них, яке узгоджується з вiдповiдним диференцiюванням напiвкiль- ця). Метою статтi є дослiдити деякi властивостi таких пiднапiвмодулiв, показати вза- ємозв’язки мiж квазiпервинними пiднапiвмодулями та диференцiально-первинними пiднапiвмодулями у випадку диференцiальних напiвмодулiв, що задовольняють умо- ву обриву зростаючих ланцюгiв диференцiальних пiднапiвмодулiв. Стаття складає- ться з двох основних частин. У першiй частинi автор дослiджує деякi властивостi диференцiальних пiднапiвмодулiв та вiдоповiдних диференцiальних iдеалiв, а також наводить деякi приклади таких пiднапiвмодулiв. У другiй частинi статтi розглядаю- ться ланцюги зв’язки, що iснують мiж поняттями квазiпервинний пiднапiвмодуль та диференцiально-первинний пiднапiвмодуль. Встановлено, що диференцiальний пiд- напiвмодуль 𝑁 напiвмодуля 𝑀 є диференцiально-первинний пiднапiвмодуль тодi i тiльки тодi, коли 𝑁 є квазiпервинний пiднапiвмодуль диференцiального напiвмодуля 𝑀, який задовольняє умову обриву зростаючих ланцюгiв диференцiальних пiднапiв- модулiв. Ключовi слова: диференцiювання напiвмодуля, диференцiювання напiвкiльця, ди- ференцiальний напiвмодуль, диференцiальне напiвкiльце, диференцiальний iдеал, ди- ференцiальний пiднапiвмодуль, диференцiально-первинний пiднапiвмодуль, квазiпер- винний пiднапiвмодуль.