Критичний випадок в теорiї матричних диференцiальних рiвнянь

Abstract

При математичному описаннi рiзноманiтних явищ i процесiв, що виникають в ма- тематичнiй фiзицi, електротехнiцi, економiцi, доводиться мати справу з матричними диференцiальними рiвняннями. Тому такi рiвняння є актуальними как для математи- кiв, так i для фахiвцiв в iнших галузях природознавства. В данiй статтi розглядається квазiлiнiйне матричне диференцiальне рiвняння з коефiцiєнтами, зображуваними у виглядi абсолютно та рiвномiрно збiжних рядiв Фур’є з повiльно змiнними в певному сенсi коефiцiєнтами та частотою (клас 𝐹). Рiзницi дiагональних елементiв матриць лiнiйної частини є суто уявними, тобто ми маємо справу з критичним випадком. Але мiж цими дiагональними елементами припускаються певнi спiввiдношення, що вказу- ють на вiдсутнiсть резонансу мiж власними частотами системи i частотою зовнiшньої збуджуючої сили. Розглядається задача встановлення ознак iснування у такого рiв- няння розв’язкiв класу 𝐹. За допомогою низки перетворень рiвняння зводиться до рiвняння некритичного випадку, i розв’язок класу 𝐹 цього рiвняння шукається мето- дом послiдовних наближень за допомогою принципа стискуючих вiдображень. Потiм на пiдставi властивостей розв’язкiв перетвореного рiвняння робляться висновки щодо властивостей початкового рiвняння. Ключовi слова: матричнi диференцiальнi рiвняння, ряди Фур’є, повiльно змiннi параметри.

Shchogolev S. A., Karapetrov V. V. Block separation of the system of the linear matrix di erential equations. In the mathematical description of various phenomena and processes arising in mathematical physics, electrical engineering, economics, have to deal with matrix differential equations. Therefore, such equations are relevant as for mathematicians and specialists in other fields natural sciences. This article considers quasilinear matrix differential equations with coefficients depicted in the form of absolutely and uniformly convergent Fourier series with slow variable in a sense coefficients and frequency (class 𝐹). The differences of the diagonal elements of the matrices of the linear part are pure imaginary, that is, we are dealing with a critical case. But between these diagonal elements assume certain relations that indicate the absence of resonance between the natural frequencies of the system and frequency of external excitation force. The problem is considered establishing signs of existence in such an equation of class solutions 𝐹. By means of a number of transformations the equation is reduced to the equation noncritical case, and the solution of the class 𝐹 of this equation is sought by the method of successive approximations using the principle compression reflections. Then based on the properties of the solutions of the transformed equation, conclusions are drawn about the properties initial equation. Keywords: matrix differential equations, Fourier series, slowly varying parameters.