Про критерiй скiнченностi зображувального типу для сiмейств категорiй iн’єктивних зображень

Abstract

Зображення ч. в. множин (частково впорядкованих множин), введенi Л. А. На- заровою i А. В. Ройтером у 1972 р., вiдiграють важливу роль у сучаснiй теорiї зо- бражень та її застосуваннях. М. М. Клейнер отримав опис ч. в. множин скiнченного зображувального типу в термiнах критичних ч. в . множин (мiнiмальних ч. в. мно- жин нескiнченного зображувального типу), а Ю. А. Дрозд довiв, що ч. в. множина 𝑆 (яка не мiстить елемента, позначеного як 0) має скiнченний зображувальний тип тодi i тiльки тодi, коли її квадратична форма Тiтса 𝑞𝑆(𝑧) =: 𝑧2 0 + Σ︁ 𝑖∈𝑆 𝑧2 𝑖 + Σ︁ 𝑖<𝑗,𝑖,𝑗∈𝑆 𝑧𝑖𝑧𝑗 − 𝑧0 Σ︁ 𝑖∈𝑆 𝑧𝑖 є слабко додатною, тобто додатною на множинi невiд’ємних векторiв (у 1972 та 1974 роках вiдповiдно). У цiй статтi ми розглядаємо ситуацiю (що стосується нескiнченних ч. в. множин), коли головну роль вiдiграє не слабка додатнiсть, а додатнiсть квадра- тичної форми Тiтса. Ситуацiя стосується дослiдження категорiй зображень спецiаль- ного вигляду, i в цьому випадку ми використовуємо встановлений першим автором зв’язок мiж квадратичними формами Тiтса для частково впорядкованих множин i комутативних сагайдакiв. Ключовi слова: iн’єктивне зображення, критична ч. в. множина, квадратична фор- ма Тiтса для ч. в. множин, квадратична форма Тiтса для комутативних сагайдакiв, скiнченний зображквальний тип, додатнiсть i слабка додатнiсть.

The representations of posets (partially ordered sets), introduced by L. A. Nazarova and A. V. Roiter in 1972, play an important role in the modern representation theory and its applications. M. M. Kleiner obtained a description of posets of finite representation type in terms of critical posets (the minimal ones of infinite representation type) and Yu. A. Drozd proved that a poset 𝑆 (not containing an element designated as 0) is of finite representation type if and only if its Tits quadratic form 𝑞𝑆(𝑧) =: 𝑧2 0 + Σ︁ 𝑖∈𝑆 𝑧2 𝑖 + Σ︁ 𝑖<𝑗,𝑖,𝑗∈𝑆 𝑧𝑖𝑧𝑗 − 𝑧0 Σ︁ 𝑖∈𝑆 𝑧𝑖 is weakly positive, i.e. positive on the set of non-negative vectors (in 1972 and 1974, respectively). In this paper we consider a situation (which deals with infinite posets), when the main role is played not by weakly positivity but by positivity of the Tits quadratic form. The situation relates to the study of the categories of representations of a special form, and in this case we use established by the first author a connection between the Tits quadratic forms for partially ordered sets and commutative quivers. Keywords: injective representation, critical poset, Tits quadratic form for posets, Tits quadratic form for commutative quivers, finite representation type, positivity and weak positivity.