Аналiтичнi розв’язки статичної задачi про тиск попередньо напружених пiвпросторiв та пружного цилiндра з початковими напруженнями

Abstract

Стаття присвячена розв’язку контактної задачi для попередньо напруженого ци- лiндричного штампа та двох пружних пiвпросторiв з початковими напруженнями в аналiтичному виглядi без врахування сил тертя. Будемо вважати, що поверхнi поза межею контакту залишаються вiльними вiд впливу зовнiшнiх сил, а на межi конта- кту перемiщення та напруження — неперервнi. Задачу розв’язано у випадку нерiвних коренiв визначального рiвняння. Дослiдження представлено у загальному видi для теорiї великих початкових деформацiй i двох варiантiв теорiї малих початкових де- формацiй у межах лiнеаризованої теорiї пружностi при довiльнiй структурi пружного потенцiалу. Припускається, що початковi стани пружного цилiндричного штампа та пружних основ (пiвпросторiв) однорiднi та рiвнi. Дослiдження проводиться в коор- динатах початкового деформованого стану, якi пов’язанi з лагранжевими координа- тами (природного стану). Крiм того, вплив цилiндричного штампа викликає невеликi збурення вiдповiдних величин основного напружено-деформованого стану. Також пе- редбачається, що пружний цилiндричний штамп та пружнi пiвпростори виготовленi з рiзних iзотропних, трансверсально-iзотропних або композитних матерiалiв. У випад- ку ортотропних тiл, будемо вважати, що пружно-еквiвалентнi напрямки спiвпадають iз напрямком осей координат у деформованому станi. Наведенi загальнi розв’язки основних диференцiальних рiвнянь лiнеаризованої теорiї пружностi у випадку осеси- метричної деформацiї для скiнченної цилiндричної областi. У результатi, розв’язки поставленої задачi представленi у виглядi нескiнченних рядiв, коефiцiєнти яких ви- значаються з нескiнченної системи алгебраїчних рiвнянь. Вiдмiтимо, що коефiцiєнти системи залежать вiд величин, що визначають структуру пружного потенцiалу та висоту пружного штампа. У статтi також встановлено зв’язок мiж осiданням та рiв- нодiючою навантаження. Отже, за допомогою отриманих розв’язкiв можна вивчити вплив початкових (залишкових) напружень у двох пружних пiвпросторах та пружно- му цилiндричному штампi на розподiл контактних напружень в областi контакту. Ключовi слова: початковi напруження, напружено-деформований стан, лiнеаризо- вана теорiя пружностi, пiвпростiр, цилiндричний штамп.

The article is devoted to the solution of the contact problem for a prestressed cylindrical die and two elastic half-spaces with initial stresses in an analytical form without taking into account frictional forces. We will assume that the surfaces outside the contact boundary remain free from the influence of external forces, and at the contact boundary displacements and stresses are continuous. The problem is solved in the case of unequal roots of the defining equation. The study is presented in a general form for the theory of large initial strains and two variants of the theory of small initial strains within the linearized theory of elasticity with an arbitrary structure of the elastic potential. It is assumed that the initial states of the elastic cylindrical die and the elastic bases (half-spaces) are homogeneous and equal. The research is carried out in the coordinates of the initial deformed state, which are related to the Lagrangian coordinates (of the natural state). In addition, the influence of the cylindrical stamp causes small perturbations of the corresponding values of the basic stress-strain state. It is also assumed that the elastic cylindrical die and the elastic halfspaces are made of different isotropic, transversally isotropic or composite materials. In the case of orthotropic bodies, we will assume that the elastically equivalent directions coincide with the direction of the coordinate axes in the deformed state. General solutions of the basic differential equations of the linearized theory of elasticity in the case of axisymmetric deformation for a finite cylindrical region are given. As a result, the solutions of the given problem are presented in the form of infinite series, the coefficients of which are determined from an infinite system of algebraic equations. Note that the coefficients of the system depend on the values that determine the structure of the elastic potential and the height of the elastic stamp. The article also establishes the relationship between settlement and the equivalent load. Therefore, with the help of the obtained solutions, it is possible to study the influence of initial (residual) stresses in two elastic half-spaces and an elastic cylindrical stamp on the distribution of contact stresses in the contact area. Keywords: initial stresses, stress-strain state, linearized theory of elasticity, half-space, cylindrical die.