Проблема Дедекінда та класи Поста

Abstract

У роботі за допомогою класів Поставивчаються булеві функції. Введено поняття характеристикиПоста булевої функціїта еквівалентних функцій за характеристикою Поста. На основі відношенняеквівалентності за характе-ристикою Поста розглядаються32замкнені класи, які утворюють куб Пос-та. Уцьому кубі 17класів є порожніми, а решта 15 непорожніх утворюють решітку Поста. У роботі виведеноформули для обчислення кількості фун-кцій у класах Поста в залежності від числа змінних 12,, ...,.nx xxТакі фор-мули знайденодля 11 з 15класів. Проблема обчислення потужностей не-порожніх класів тісно повʼязана з проблемою Дедекінда. Задачу знахо-дження кількості монотонних функцій в залежності від числазмінних називають проблемою Дедекінда. У 1897 році цю задачу розвʼязав Деде-кінд для n4;у 1940 році Черч —для n5;Вард —для n6;для n7 є розходження в отриманих оцінках. Найбільше значення числа Дедекінда відомо для n8. Знайденооцінки потужностей класів Поста, які дають можливість інакшепідійти до розвʼязання проблеми Дедекінда.У данійроботі проведеноаналітичні дослідження, за допомогою якихможнадля довільної системи булевих функцій від довільної кількості змінних, для яких знайденохарактеристики Поста, знайти всі можливі одно-, дво-, три-та чотирифункціональні базиси. Знайденорозподіли булевих функцій від трьох, чотирьох і пʼяти змінних за непорожніми класами Поста. Викорис-товуючи приведений аналітичний апарат, можна обчислити число всіх можливих базисів. У роботі наведеноприклад знаходження всіх базисів для булевих функцій, арність яких не перевищує пʼяти. У цьому прикладізнайдена кількість одно-, дво-, три-та чотирифункціональних базисів.

The paper studied Boolean functions using Postʼs classes. The concepts of Postʼs characteristic of Boolean function and equivalence functions of Postʼs characteristic are introduced. The thirty-two closed classes are considered based on the equivalence relation by Postʼs characteristic. These classes form the Postʼs cube. This cubeʼs seventeen classes are empty, and nonempty classes form the Postʼs lattice. Formulas for computingthe number of functions of Postʼs classes have been discovered depending on the number of variables 12,,...,nx xxin this investigation. Such formulas are found for eleven classes of fifteen classes. The problem of computation of power of nonempty classes is closely related to Dedekindʼs problem. The exercise finding of quantity of mon-otone functions depending on the number of variables is called Dedekindʼs prob-lem. Dedekind solved this problem for n4 in 1897, Church—n5 in 1940, and Ward for n6. The quantity of monotone functions was adduced for n7, but the authors got divergence of valuation. The most value of Dedekindʼs num-ber is known as n8. Finding the valuation of Postʼs classes gives the oppor-tunity another side to solve Dedekindʼs problem.Analytical investigations were conducted in this paper that allow arbitrary Boolean function systems from an arbitrary quantity of variables to find all possible one-functional, two-functional, three-functional, and four-functional bases. The distributions of Boolean func-tions from three, four, and five variables about nonempty Post’s classes are found. They are using this analytical apparatus we can to calculate the quantity of all possible bases. The example of finding all bases for Boolean functions of arity does not exceed five is given. The amount of one-functional, two-fun-ctional, three-functional, and four-functional bases was found in this example.