Алгоритм поліноміальної апроксимації розв’язків нелінійного диференціального рівняння Абеля

Abstract

Розглядаються питання конструювання та теоретичного обґрунтування чисельно- аналiтичного алгоритму полiномiальної апроксимацiї розв’язкiв задачi Кошi для диференцiального рiвняння Абеля. Алгоритм ґрунтується на апроксимацiйному методi В. К. Дзядика розв’язування лiнiйних диференцiальних та iнтегральних рiвнянь, головною iдеєю якого є побудова такого наближеного розв’язку, який би як можна точнiше задовольняв апроксимацiйну теорему П. Л. Чебишева про характеризацiю многочлена найкращого наближення. В роботi 𝑎-метод узагальнюється на рiвняння з нелiнiйностями у виглядi полiномiв. Доведена теорема про вiдхилення наближеного розв’язку вiд точного розв’язку поставленої задачi Кошi у рiвномiрнiй та квадратичнiй метриках, отриманi оцiнки похибок. Алгоритм апробований на тестовiй задачi. Обчислювальний експеримент iлюструє високу ефективнiсть запропонованого алгоритму та теоретичних результатiв.

The problems of construction and theoretical substantiation of numerical-analytical algorithms for polynomial approximation of the Cauchy problem solutions for Abel’s differential equation are considered. The algorithm is based on the Dzyadyk’s approximation method for the solution of differential and integral equations, the main idea of which is to construct such an approximate solution that would satisfy the Chebyshov’s approximation theorem on the characterization of the best approximation polynomial as accurately as possible. In the paper the 𝑎-method is generalized to equations with nonlinearities in the form of polynomials. The theorem on the deviation of the approximate solution from the exact solution of the given Cauchy problem for uniform and quadratic metrics is proved, the estimations of errors are obtained. The algorithm was tested on a test task. The computational experiment illustrates the high efficiency of the proposed algorithm and theoretical results.