Узагальнення негативних результатів для інтерполяційного монотонного наближення функцій, що мають дробову похідну в просторі Соболєва з індексом R ∈ (2, 3)

Abstract

Питання монотонної апроксимацiї це питання наближення монотонних функцiй з простору Соболєва монотонними алгебраїчними полiномами. Дослiджується питання наближення монотонних функцiй iз простору Соболєва W𝑟[0, 1] з дiйсним iндексом 𝑟 ∈ (2, 3) алгебраїчними полiномами. Побудовано контрприклад, якийй показує, що для 𝑟 ∈ (2, 3) оцiнка |𝑓(𝑥) − 𝑝𝑛(𝑥)| ≤ 𝑐(𝑟) (︃√︀ 𝑥(1 − 𝑥) 𝑛 )︃𝑟 , 𝑛 > 𝑟 є хибною. Результат отриманий в роботi є узагальненням аналогiчних результатiв для простору Соболєва з натуральним iндексом 𝑟 > 2.

The issue of monotone approximation is the issue of approximation of monotone functions from the Sobolev space by monotone algebraic polynomials. The issue of approximation of monotone functions from the Sobolev space W𝑟[0, 1] with real index 𝑟 ∈ (2, 3) by algebraic polynomials is investigated. A counterexample is constructed, which shows that for 𝑟 ∈ (2, 3) the estimate |𝑓(𝑥) − 𝑝𝑛(𝑥)| ≤ 𝑐(𝑟) (︃√︀ 𝑥(1 − 𝑥) 𝑛 )︃𝑟 , 𝑛 > 𝑟 is false. The result obtained in the paper is a generalization of similar results for the Sobolev space with natural index 𝑟 > 2.