Числовий розв’язок контактної задачі для попередньо напруженого циліндричного штампа та двох півпросторів з початковими напруженнями

Abstract

Стаття присвячена розв’язку контактної задачi для попередньо напруженого цилiндричного штампа та двох пружних пiвпросторiв з початковими напруженнями в аналiтичному виглядi без врахування сил тертя. Будемо вважати, що поверхнi поза межею контакту залишаються вiльними вiд впливу зовнiшнiх сил, а на межi контакту перемiщення та напруження — неперервнi. Задачу розв’язано у випадку нерiвних коренiв визначального рiвняння. Дослiдження представлено у загальному видi для теорiї великих початкових деформацiй i двох варiантiв теорiї малих початкових деформацiй у межах лiнеаризованої теорiї пружностi при довiльнiй структурi пружного потенцiалу. Припускається, що початковi стани пружного цилiндричного штампа та пружних основ (пiвпросторiв) однорiднi та рiвнi. Дослiдження проводиться в координатах початкового деформованого стану, якi пов’язанi з лагранжевими координатами (природного стану). Крiм того, вплив цилiндричного штампа викликає невеликi збурення вiдповiдних величин основного напружено-деформованого стану. Також передбачається, що пружний цилiндричний штамп та пружнi пiвпростори виготовленi з рiзних iзотропних, трансверсально- iзотропних або композитних матерiалiв. У випадку ортотропних тiл, будемо вважати, що пружно-еквiвалентнi напрямки спiвпадають iз напрямком осей координат у деформованому станi. У результатi, розв’язки поставленої задачi представленi у виглядi нескiнченних рядiв, коефiцiєнти яких визначаються з нескiнченної системи алгебраїчних рiвнянь. Для дослiдження задачi використовується велика кiлькiсть фундаментальних результатiв таких як: перетворення Ханкеля, парнi iнтегральнi рiвняння, ортогональнi полiноми та iншi методи теорiї контактних задач лiнiйної теорiї пружностi. Числовий аналiз представлений для потенцiалу Трелоара у виглядi графiкiв. Вiдзначено достатнiй вплив початкових (залишкових) напружень у двох пружних пiвпросторах та пружному цилiндричному штампi на розподiл контактних напружень в областi контакту.

The article is devoted to the solution of the contact problem for a prestressed cylindrical die and two elastic half-spaces with initial stresses in an analytical form without taking into account frictional forces. We will assume that the surfaces outside the contact boundary remain free from the influence of external forces, and at the contact boundary displacements and stresses are continuous. The problem is solved in the case of unequal roots of the defining equation. The study is presented in a general form for the theory of large initial strains and two variants of the theory of small initial strains within the linearized theory of elasticity with an arbitrary structure of the elastic potential. It is assumed that the initial states of the elastic cylindrical die and the elastic bases (half-spaces) are homogeneous and equal. The research is carried out in the coordinates of the initial deformed state, which are related to the Lagrangian coordinates (of the natural state). In addition, the influence of the cylindrical stamp causes small perturbations of the corresponding values of the basic stress-strain state. It is also assumed that the elastic cylindrical die and the elastic halfspaces are made of different isotropic, transversally isotropic or composite materials. In the case of orthotropic bodies, we will assume that the elastically equivalent directions coincide with the direction of the coordinate axes in the deformed state. As a result, the solutions of the given problem are presented in the form of infinite series, the coefficients of which are determined from an infinite system of algebraic equations. To study the problem, a large number of fundamental results are used, such as: Hankel transformation, pair integral equations, orthogonal polynomials and other methods of the theory of contact problems of the linear theory of elasticity. Numerical analysis is presented for the Treloar potential in the form of graphs. Sufficient influence of the initial (residual) stresses in two elastic half-spaces and an elastic cylindrical stamp on the distribution of contact stresses in the contact area was noted.