Усереднення в задачі диференціальної гри переслідування за наявності багаточастотних збурень

Abstract

У роботi розглядається задача диференцiальної гри переслiдування, коли на рух переслiдувача i втiкача накладенi зовнiшнi малi збурення. Застосовано та обґрунтовано метод усереднення за швидкими змiнними для побудови спрощеної системи рiвнянь. Дослiджено вплив багаточастотних збурень на конфлiктно-керований процес. Доведено iснування та єдинiсть розв’язку початкової задачi i побудовано оцiнку вiдхилення розв’язкiв точної усередненої системи з однаковими початковими умовами на довiльному скiнченному часовому вiдрiзку [0,𝐿]. Розглянуто випадки, коли матриця лiнiйної частини залежить як вiд часу, так i вiд амплiтудних змiнних. Наведено приклад диференцiальної гри «Простий рух», який модифiковано через накладення збурень, та знайдено час завершення переслiдування для точної задачi та у випадку зi збуренням. Проаналiзовано вплив збурень на iснування розв’язку та на час завершення переслiдування диференцiальної гри.

The paper considers the problem of the differential game of pursuit, when small external disturbances are imposed on the movement of the pursuer and the escaper. The method of averaging by fast variables was applied and substantiated for creating a simplified system of equations. During the investigation the impact of multi-frequency disturbances on the conflict-driven process was analyzed. The existence and uniqueness of the solution to the initial problem was proved. Furthermore, an estimate of the deviation of the solutions of the exact averaged system with the same initial conditions on an arbitrary finite time interval [0,𝐿] was constructed. Both cases when the matrix of the linear part depends on the slow time and when it depends on the time as well as on the amplitude variables were considered. The differential game "Simple motion" was given as an example, in which it was modified through the imposition of perturbations. The pursuit completion time was found for the origin problem and in the perturbation case. As a result, the influence of perturbations on the existence of a solution and on the completion time of the pursuit in the differential game was analyzed.