On minimal minimax systems of generators for positive posets

Abstract

The representations of partially ordered sets (abbreviated: posets), introduced by L. A. Nazarova and A. V. Roiter (in matrix form) in 1972, play an important role in the modern representation theory and its applications. Yu. A. Drozd proved in 1974 that a poset 𝑆 has finite representation type over a field if and only if its Tits quadratic form is weakly positive (i.e., positive on the set of non-negative vectors), but this statement is not true, unlike the case of the quivers, when considering the positive quadratic forms. Hence the posets with positive Tits quadratic forms aroused great interest from various points of view as analogs of Dynkin diagrams. In 2005 the authors described up to isomorphism all posets with positive Tits quadratic form. The basic method for solving this problem is so-called minimax equivalence method proposed by the first author. Recently he introduced some concept (namely, minimax system of generations) with consideration of the corresponding examples, which can be considered as the emergence of a new theory, which study combinatorial properties of posets with respect to minimax equivalence. In this paper we study from such new point of view the posets with positive Tits quadratic form (which are called positive posets).

Зображення частково впорядкованих множин (скорочено ч. в. множин), введених Л. А. Назаровою і А. В. Ройтером (у матричній формі) в 1972 р., відіграють важливу роль у сучасній теорії зображень та її застосуваннях. Ю. А. Дрозд у 1974 р. довів, що ч. в. множина, 5 має скінченний зображувальний тип над полем тоді і лише тоді, коли її квадратична форма. Тітса є слабко додатною (тобто додатною на множині невід'ємних векторів), але це твердження не є правильним, на відміну від випадку сагайдаків, коли розглядаються додатні форми. Тому ч. в. множини з додатною квадратичною формою Тітса викликали великий інтерес з різних точок зору як аналоги діаграм Динкіна. У 2005 р. автори описали з точністю до ізоморфізму всі множини з додатною квадратичною формою Тітса. Основним методом вирішення цієї проблеми є так званий метод мінімаксної еквівалентності, запропонований першим автором. Нещодавно він представив деяке поняття (а саме, мінімаксної системи твірних) з розглядом відповідних прикладів, які можна розглянути як появу нової теорії, яка досліджує комбінаторні властивості множин відносно мінімаксної еквівалентності. У цій статті ми вивчаємо з такої нової точки зору ч. в. множини з додатною квадратичною формою Тітса (які називаються додатними).