Слабкі розв'язки стохастично збурених параболічних рівнянь зі швидко зростаючими зовнішніми збуреннями

Abstract

В данiй роботi вивчаються стохастичнi еволюцiйнi рiвняння у нескiнченновимiрних просторах. Цi рiвняння є математичними моделями реальних процесiв природознавства iз розподiленими параметрами i таких, що у процесi своєї еволюцiї зазнають впливу випадкових факторiв. Данi фактори можна розглядати як сумарний результат великої кiлькостi незалежних у сукупностi випадкових величин. Тодi, у силу центральної граничної теореми, отримаємо, що випадковi збурення описуються нескiнченновимiрним процесом бiлого шуму, що приводить до стохастичних рiвнянь Iтовського типу. Характерним прикладом таких рiвнянь є стохастичнi параболiчнi рiвняння iз нелiнiйним зносом. Головним диференцiальним оператором тут є, як правило, оператор другого порядку елiптичного типу. Вiдомi ранiше результати стосувались iснування та єдиностi слабких розв’язкiв таких рiвнянь за умови степеневого росту нелiнiйностей та деяких умов монотонностi. Однак у застосуваннях часто трапляється нелiнiйностi експоненцiального росту, наприклад, добре вiдоме рiвняння Франка–Каменського. В данiй роботi отриманi умови iснування, єдиностi та неперервної залежностi слабких розв’язкiв вiд правих частин та початкових даних. При цьому нелiнiйностi можуть допускати рiст вище степеневого. Також для розв’язкiв отриманi оцiнки у спецiальних Соболiвських нормах.

This paper studies stochastic evolution equations in infinite-dimensional spaces. These equations are mathematical models of real natural science processes with distributed parameters and those that are influenced by random factors in the process of their evolution. These factors can be considered as the total result of a large number of independent random variables. Then, by virtue of the central limit theorem, we obtain that random disturbances are described by an infinite-dimensional white noise process, which leads to stochastic equations of the Ito type. The characteristic example of such equations are stochastic parabolic equations with nonlinear wear. The main differential operator here is, as a rule, a secondorder operator of elliptic type. Previously known results related to the existence and unity of weak solutions of such equations under the condition of power-law growth of nonlinearities and certain conditions of monotonicity. However, nonlinearities of exponential growth often occur in applications, for example, the well-known Frank–Kamensky equation. In this work, the conditions of existence, unity and continuous dependence of weak solutions on the right parts and initial data are obtained. At the same time, non-linearities can allow growth above the exponent. Also, for the solutions, estimates were obtained in special Sobolev’s norms.