Спрощена схема розробки факторів толерантності для деяких кристалічних структур

Abstract

Фактор толерантності, розроблений і запропонований Гольдшмідтом для оцінки меж стабільності кубічного структурного типу перовскіту ABX3 конкретно взятого хімічного складу, знайшов широке застосування у хімії та фізиці твердого тіла й суміжних галузях науки. Виходячи з ідеалізованої кубічної перовскітної структури та іонних радіусів складових r(A), r(B) та r(X), Гольдшмідт вивів формулу фактору толерантності, як співвідношення між сумами іонних радіусів катіонів та аніонів, {[r(A) + r(X)] / (√2 × [r(B) + r(X)])}, що в ідеальних перовскітних структурах дорівнює 1. Виходячи з одержаної величини фактору толерантності, можна робити надійні прогнози щодо можливості існування кубічної перовскітної фази конкретного хімічного складу. Зручність використання фактору толерантності Гольдшмідта при вивченні перовскітних структур спонукала деяких дослідників розпочати пошук аналогічних показників для представників інших важливих для науки й техніки структурних сімейств. Однак, попри математичну коректність одержаних кінцевих формул альтернативних факторів толерантності, вивід цих формул у низці робіт виглядає невиправдано ускладненим. У представленій роботі запропоновано спрощений підхід для розробки альтернативних факторів толерантності, виходячи з геометричних характеристик правильних координаційних поліедрів, а саме зі співвідношення ребер і радіусів описаних сфер такого роду поліедрів. Запропонований підхід може використовуватись при виведенні формул факторів толерантності для будь-яких кристалічних структур, що містять правильні чи близькі до правильних координаційні поліедри різних типів з рівними довжинами ребер.

The tolerance factor, developed and proposed by Goldschmidt to estimate the stability limits of the cubic perovskite ABX3 structural type for a given chemical composition, has been widely used in solid state chemistry and physics as well as in the related fields of science. Based on the idealized cubic perovskite structure and the ionic radii of the constituents r(A), r(B), and r(X), Goldschmidt derived the formula for the tolerance factor as the ratio between the sums of the ionic radii of cations and anions, {[r(A) + r(X)] / (√2 × [r(B) + r(X)])}, which is equal to 1 in the ideal perovskite structures. From the obtained value of the tolerance factor, it is possible to make reliable predictions about the possibility of the existence of a cubic perovskite phase of a given chemical composition. The convenience of using the Goldschmidt tolerance factor in the studies of perovskite structures prompted some researchers to begin searching for similar indicators for representatives of other scientifically and technologically important structural families. However, despite the mathematical correctness of the final formulas of the alternative tolerance factors, the derivation of these formulas in a number of works seems to be unnecessarily complicated. In the present work, a simplified approach has been proposed for developing the alternative tolerance factors from the geometric characteristics of regular coordination polyhedra – namely, from the relationships between the edges and the circumscribed sphere radii of such polyhedra. The proposed approach can be used to derive the tolerance factors formulas for any crystal structures containing regular or nearly regular coordination polyhedra of different types with the same edge lengths.