Аналітичний розв'язок контактної задачі для попередньо напружених двох півпросторів та кільцевого штампа

Abstract

В статтi представлено аналiтичний розв’язок контактної задачi для двох пружних пiвпросторiв з початковими напруженнями та попередньо напруженого кiльцевого штампа без врахування сил тертя. Будемо вважати, що поверхнi поза межею контакту кiльцевого штампа та пiвпросторiв залишаються вiльними вiд впливу зовнiшнiх сил, а на межi контакту перемiщення та напруження — неперервнi. Задачу розв’язано у випадку рiвних коренiв визначального рiвняння. Дослiдження представлено у загальному виглядi для теорiї великих початкових деформацiй i двох варiантiв теорiї малих початкових деформацiй у межах лiнеаризованої теорiї пружностi при довiльнiй структурi пружного потенцiалу. Припускається, що початковi стани пружного кiльцевого штампа та пружних пiвпросторiв однорiднi та рiвнi. Дослiдження проводиться в координатах початкового деформованого стану, якi пов’язанi з лагранжевими координатами. Крiм того, вплив кiльцевого штампа викликає невеликi збурення вiдповiдних величин основного напружено-деформованого стану. Також передбачається, що пружний кiльцевий штамп та пружнi пiвпростори виготовленi з рiзних iзотропних, трансверсально-iзотропних або композитних матерiалiв. Увипадку ортотропних тiл будемо вважати, що пружно-еквiвалентнi напрямки спiвпадають iз напрямком осей координат у деформованому станi. У результатi, розв’язки поставленої задачi представленi у виглядi нескiнченних рядiв, коефiцiєнти яких визначаються з нескiнченної квазiрегулярної системи алгебраїчних рiвнянь. Для дослiдження задачi використовується велика кiлькiсть фундаментальних результатiв таких як: перетворення Ханкеля, потрiйнi iнтегральнi рiвняння, та iншi методи теорiї контактних задач лiнеаризованої теорiї пружностi. У статтi також встановлено зв’язок мiж осiданням та рiвнодiючою силою навантаження. Отже, за допомогою отриманих розв’язкiв можна вивчити вплив початкових (залишкових) напружень на розподiл контактних напружень та перемiщень у двох пружних пiвпросторах та пружному кiльцевому штампi.

The article presents an analytical solution to the contact problem for two elastic halfspaces with initial stresses and a prestressed ring stamp, without considering frictional forces. We will assume that the surfaces outside the contact boundary of the ring stamp and the half-spaces remain free from the influence of external forces, and at the contact boundary displacements and stresses are continuous. The problem is solved in the case of equal roots of the defining equation. The study is presented in a general form for the theory of large initial strains and two variants of the theory of small initial strains within the linearized theory of elasticity with an arbitrary structure of the elastic potential. It is assumed that the initial states of the elastic ring stamp and the elastic bases are homogeneous and equal. The research is carried out in the coordinates of the initial deformed state, which are related to the Lagrangian coordinates. In addition, the influence of the ring stamp causes small perturbations of the corresponding values of the basic stress-strain state. It is also assumed that the elastic ring stamp and the elastic halfspaces are made of different isotropic, transversally isotropic or composite materials. In the case of orthotropic bodies, we will assume that the elastically equivalent directions coincide with the direction of the coordinate axes in the deformed state. As a result, the solutions of the given problem are presented in the form of infinite series, the coefficients of which are determined from an infinite quasi-regular system of algebraic equations. Several fundamental results, such as the Hankel transformation, triple integral equations, and other methods of the theory of contact problems of the linearized theory of elasticity, are used to study this problem. In the article also establishes the connection between sinking and the corresponding burden. Therefore, with the help of the obtained solutions, it is possible to study the influence of initial (residual) stresses on the distribution of contact stresses and displacements in two elastic half-spaces and an elastic ring stamp.