Roots of polynomials over commutative rings

Abstract

Let A be a commutative ring with identity and without nontrivial nilpotent elements. Suppose that f(x) and g(x) are polynomials with coe±cients in A. If the leading coe±cient of the polynomial f(x) is not zero divisor in A, then we show that the polynomials f(x) and g(x) have common roots in some ring extension of A if and only if their resultant R(f; g) is zero. Likewise, the polynomial f(x) has repeated roots in some ring extension of A if and only if its discriminant ¢(f) is zero.

Нехай A це комутативне кiльце з одиницею i без нетривiальних нiльпотентних елементiв. Припустимо, що f(x) та g(x) полiноми з коефiцiєнтами в A. В статтi показано, що, якщо старший коефiцiєнт полiнома f(x) не її дiльником нуля в A, то полiноми f(x) та g(x) мають спiльнi коренi в деякому розширеннi кiльця A тодi i тiльки тодi, коли їх результант R(f; g) дорiвнює нулю. Бiльше того, полiном f(x) має кратнi коренi в деякому розширеннi кiльця A тодi i тiльки тодi, коли його дискримiнант ў(f) дорiвнює нулю.