Про розподіл перестрибків через нескінченно віддалений рівень для одного класу скалярних гратчастих процесів

Abstract

Процеси ризику описуються складними пуассонiвськими процесами. Основнi характеристики, що дослiджуються в теорiїризику, тiсно пов’язанi з розподiлами граничних функцiоналiв для однорiдних процесiв з незалежними приростами (екстремумiв на скiнченному iнтервалi, абсолютних екстремумiв, перестрибкових функцiоналiв та iнших). В бiльшостi робiт з теорiї ризику такий зв’язок не достатньо освiтлю'ться i вiдомi результати для розподiлу функцiоналiв процесiв з незалежними приростами часто залишаються осторонь при вивченнi задач ризику. В той же час для однорiдних процесiв з незалежними приростами та випадкових блукань багато результатiв з розподiлу екстремумiв та iнших функцiоналiв можна використати i пристосувати для опису основних характеристик як у теорi] ризику, так i в теорiї систем масового обслуговування. Мета даної роботи одержати результати для розподiлу абсолютних екстремумiв граничних функцiоналiв i привернути увагу на зв’язок теорiї ризику з граничними задачами для випадкових процесiв з незалежними приростами. Для майже напiвнеперервних знизу процесiв розглядаються граничнi задачi, пов’язанi з розподiлами рi- зних граничних функцiоналiв, якi мають не лише теоретичний iнтерес, а й практичне застосування. При дослiдженнi задач, пов’язаних з розподiлом граничних функцiоналiв викори- стовується багато рiзних методiв, якi можна умовно подiлити на прямi (iмовiрноснi) та аналiтичнi. Але найбiльш привабливим є одержання точних формул, тому у данiй роботi проводяться дослiдження деяких розподiлiв граничних функцiоналiв факто- ризацiйним методом, який дозволяє отримати результати без суттєвих обмежень на процес. Дана стаття присвячена вивченню розподiлiв перестрибкових функцiоналiв через нескiнченно вiддалений рiвень для одного класу цiлочислових гратчастих пуассонiвських процесiв. А саме, дослiджуються майже напiвнеперервнi знизу процеси, якi перетинають вiд’№мний рiвень лише геометрично розподiленими стрибками. У роботi отримано спiввiдношення для спiльних генератрис перестрибкових функцiоналiв та умовних генератрис скiнченного рiвня x для цiлочислових гратчастих пуассонiвських процесiв, а також доведено справедливiсть спiввiдношень для генератрис перестрибку, недострибку та стрибка, що накриває нескiнченно вiддалений рiвень у випадку довiльного знаку середнього значення процесу. Ключовi слова: майже напiвнеперервнi знизу процеси, генератриси екстремумiв, перестрибковi функцiонали.

Risk processes are described by complex Poisson processes. The main characteristics studied in risk theory are closely related to the distributions of boundary functionals for homogeneous processes with independent increments (finite-interval extrema, absolute extrema, jumping functionals). For the most part, work in risk theory does not suficiently illuminate this connection, and the known results for the distribution of process functionals with independent increments are often left aside in the study of risk tasks. At the same time, for homogeneous processes with independent increments and random walks, many results from the distribution of extremes and other functionals can be used and adapted to describe the main characteristics of both risk theory and queuing theory. The purpose of this paper is to obtain results for the distribution of absolute extrema of boundary functionals and to draw attention to the connection of risk theory with boundary value problems for random processes with independent increments. For almost semicontinuous processes, boundary problems related to distributions of difierent boundary functionals are considered, which have not only theoretical interest but also practical application. In the study of problems related to the distribution of boundary functionals, there are many difierent methods that can be conditionally divided into direct (probabilistic) and analytical ones. However, the most attractive is to obtain exact formulas, so in this work we study some distributions of boundary functionals by the factorization method. This article is devoted to the study of distributions of jumping functionals through an infinitely distant level for one class of integer lattice Poisson processes. Namely, the almost semi-continuous from below processes are investigated that cross a negative level with only geometrically distributed jumps. In this paper relations for joint generators of jumping functionals and conditional generators of finite level for integer lattice Poisson processes are obtained, as well as the validity of relations for generators of jumping that covers an infinitely distant level in the case, is proved. Keywords: almost semicontinuous processes, moment generating functions of extrema, jumping functionals.