Модифікований чисельний метод мажорантного типу відшукання екстремуму довільних логарифмічно вгнутих функцій двох дійсних змінних

Abstract

При розв’язуваннi прикладних задач визначення оптимальних режимiв складних систем необхiдно розв’язувати задачi на знаходження екстремумiв негладких i розривних функцiй. Такi ситуацiї зустрiчаються, наприклад, в теорiї апроксимацiї, при розв’язуваннi окремих задач дослiдження операцiй, в застосуваннi теорiї керування рухом динамiчних систем тощо. Тому великий iнтерес становить розробка чисельних методiв, за допомогою яких можна було б знаходити абсолютний екстремум як неперервно-диференцiйовних, так i довiльних функцiй. Нами ведеться робота над розробленням таких методiв. В їх основу покладено використання апарату некласичних мажорант i дiаграм Ньютона функцiй, заданих таблично. В [3] побудовано апарат некласичних мажорант i дiаграм Ньютона функцiй двох дiйсних змiнних, заданих таблично, який використано для розробки чисельного методу обчислення подвiйних iнтегралiв, точного на певному класi функцiй; деяких чисельних методiв вiдшукання екстремуму негладких функцiй двох дiйсних змiнних. Зокрема, цей апарат використано для побудови чисельного методу нульового порядку вiдшукання екстремуму довiльних логарифмiчно вгнутих функцiй двох дiйсних змiнних. Збiжнiсть чисельних методiв мажорантного типу вiдшукання абсолютного екстремуму негладких логарифмiчно вгнутих функцiй однiєї та двох дiйсних змiнних не залежить вiд вибору початкового наближення, та випливає iз опуклостi вниз дiаграми Ньютона. В роботi пропонується модифiкацiя вищезазначеного методу, направлена на пiдвищення його ефективностi. У результатi застосування алгоритму одержимо розв’язок з точнiстю до величини кроку. Зазначимо, що побудований у роботi чисельний метод можна успiшно використовувати для вiдшукання локальних екстремумiв довiльних негладких функцiй вiд двох дiйсних змiнних, а також для вiдшукання абсолютного екстремуму довiльних функцiй двох дiйсних змiнних, якi в заданiй областi задовольняють умову Лiпшиця з сталою L.

When solving application problems for determining the optimal modes of complex systems, it is necessary to solve problems for finding extremes of nonsmooth and discontinuous functions. Such situations occur, for example, in the theory of approximation, in solving particular problems of operations research, in the application of the theory of motion control of dynamical systems, etc. Therefore, it is of great interest to develop numerical methods by which absolute extremum of both continuous-differential and arbitrary functions could be found. We are working on developing such methods. They are based on the use of the apparatus of non-classical majorities and Newton diagrams of the functions given in the table. In [3], the apparatus of nonclassical majorants and Newton diagrams of functions of two real variables, given in tabular form, was constructed, which was used to develop a numerical method for calculating double integrals accurate on a certain class of functions; some numerical methods for finding the extremum of nonsmooth functions of two real variables. In particular, this apparatus was used to construct a numerical zero-order method for finding the extremum of arbitrary logarithmically curved functions of two real variables. The convergence of the numerical methods for finding the absolute extremum of the nonsmooth log-curved functions of one and two real variables does not depend on the choice of the initial approximation. The convergence of the method follows from the convexity of the Newton diagram. The paper proposes modification of the above method, aimed at improving its efficiency. As a result of applying the algorithm, we obtain a solution up to the magnitude of the step. Note that the numerical method constructed in this paper can be successfully used to find local extremum of arbitrary nonsmooth functions from two real variables, as well as to find the absolute extremum of arbitrary functions of two real variables that satisfy a Lipschitz condition with a constant L.