Умови рiвномiрної збiжностi вейвлет розкладiв випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω)

Abstract

Ця стаття присвячена знаходженню умов рiвномiрної збiжностi з ймовiрнiстю одиниця вейвлет розкладiв класу випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω). Вивчення загальних властивостей таких випадкових процесiв, отримання оцiнок розподiлу функцiоналiв вiд процесiв з тих чи iнших просторiв випадкових величин, встановлення умов рiвномiрної збiжностi випадкових функцiональних рядiв є одними iз поширених задач теорiї випадкових процесiв. Вейвлет аналiз є достатньо молодою галуззю математики з багатьма цiкавими проблемами й задачами. Однак дану теорiю, зокрема вейвлет розклади функцiй, на даний час широко використовують як у теорiї випадкових процесiв, так i у рiзних областях науки. Наприклад, вейвлет аналiз активно застосовується для фiльтрацiї i попередньої обробки даних, аналiзу стану i прогнозування ситуацiї на фондових ринках, розпiзнавання образiв, при обробцi i синтезi рiзних сигналiв, зокрема при обробцi мовних сигналiв, бiомедичних сигналiв, для розв’язання завдань стиснення i обробки зображень, при навчаннi нейромереж i в багатьох iнших випадках. Тому є актуальною задача знаходження умов рiвномiрної збiжностi вейвлет розкладiв класу випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω). У данiй роботi ми зосереджуємося на основних властивостях просторiв Fψ(Ω) та деяких елементах теорiї вейвлетiв. На початку статтi наведено основнi означення, теореми, приклади випадкових величин з просторiв Fψ(Ω) та поняття i властивостi мажоруючої характеристики цього простору. Далi подано необхiднi вiдомостi з вейвлет аналiзу, зокрема: означення f-, m-вейвлетiв та умови S, а також умови розкладу функцiй по цим базисам. Також наведено умови рiвномiрної збiжностi з iмовiрнiстю одиниця вейвлет розкладiв деяких функцiй. Основним результатом статтi є умови рiвномiрної збiжностi вейвлет розкладiв випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω). Данi умови базуються на оцiнках розподiлу супремуму на R випадкових процесiв iз просторiв Fψ(Ω) та рiвномiрної неперервностi сепарабельного вимiрного випадкового процесу X = {X(t), t ∈ R} з простору Fψ(Ω) на деякому вiдрiзку. Також, наведено приклади функцiй, для яких виконується одна iз умов теореми про оцiнку мажоруючої характеристики κ(n) простору Fψ(Ω)

This paper is devoted to the search of conditions for uniform convergence of wavelet expansions of stochastic processes from the spaces Fψ(Ω) with probability one. The most common problems in the theory of stochastic processes are the study of the general properties of such stochastic processes, obtaining estimates for the distribution of some functionals of processes from some spaces of random variables, establishing conditions for uniform convergence of random functional series. Wavelet analysis is a relatively young field of mathematics with plenty of curious problems and challenges. However, this theory, in particular, wavelet expansions of functions is frequently used in the theory of stochastic processes and other areas of science. For instance, wavelet analysis is widely used for data filtering and data preprocessing, analysis of the state, and forecasting the situation in the stock markets, pattern recognition, synthesis, and signal processing, namely speech signals processing and biomedical signals. Likewise, wavelets are used for solving image compression problem and image processing, training neural networks, and in many other cases. Therefore, today topical is the task of finding conditions for uniform convergence of wavelet expansions of stochastic processes from the space Fψ(Ω). Our focus in this paper is on the basic properties of spaces Fψ(Ω) and some elements of wavelet theory. At the beginning of the article the basic definitions, theorems, examples of random variables from the space Fψ(Ω), concept, and properties of majorizing characteristic such space are given. Then we introduce the necessary background from wavelet theory, in particular, f- and m- wavelet definitions, the condition S, and the conditions on the expansion of functions on these bases. We also provide the conditions for the uniform convergence of wavelet expansions of some functions. The main result of the paper are the conditions for the uniform convergence of wavelet expansions of random processes from the space Fψ(Ω). These conditions are based on estimates for the distribution of suprema on R for the stochastic processes from Fψ(Ω) spaces and uniform convergence of separable measurable stochastic process X = f X(t); t 2 Rg from the space Fψ(Ω) on some segment. There were also given several examples of functions, in which case one of the conditions of the theorem on the estimation of the majorizing characteristic {(n) of the space Fψ(Ω) holds.