Дослiдження сигнатурного кубу унiверсальних булевих алгебр

Abstract

У роботi розглядається теорiя булевих функцiй з точки зору унiверсальних булевих алгебр. Дана робота використовує термiнологiю вiдомих авторiв Куроша, Мальцева, Поста та iнших. Крiм цього у роботi введено новi поняття такi як унiверсальна булева алгебра, l−базиснi алгебри, вiльнi та канонiчнi алгебри. Також вивчається клас унiверсальних булевих алгебр M2, у сигнатуру яких входять всi одно та двомiснi операцiї двозначної логiки. Ввiвши поняття порядку порiвняння сигнатур алгебр, отримали представлення алгебр M2 у виглядi 11-мiсного сигнатурного кубу. У роботi виконано розбиття цього кубу на чотири дев’ятимiрнi куби M1 2 , M2 2 , M3 2 , M4 2 . У класi M1 2 знайдена множина функцiонально повних алгебр η0 i побудовано сигнатурний граф даної множини, проведено дослiдження цих алгебр. Множину всiх функцiонально повних алгебр розбито на п’ятнадцять класiв η1, η2, . . . , η15, побудованi сигнатурнi графи кожного з цих класiв. Вивчена структура i типи алгебр, якi входять до складу класiв η1, η2, . . . , η15. Всi функцiонально повнi алгебри класу M1 2 зображенi у виглядi сигнатурного графа. Встановлено потужнiсть класу M1 2 , побудовано сигнатурний граф канонiчних алгебр цього класу i визначено розподiл алгебр по ярусах цього графа. Наведено розподiл 259 вiльних алгебр по ярусах Ω-кубу i побудовано сигнатурний граф класу вiльних алгебр. Отриманi результати узагальнено на класи M2 2 , M3 2 , M4 2 . На основi цих результатiв виконано розподiл 2048 алгебр класу M2 вiдносно базисностi по ярусах Ω- кубу.

In this paper, the theory of Boolean functions from the point of view of universal Boolean algebras is considered. The present article uses the terminology of well-known authors Kurosh, Maltsev, Post and others. In addition, the paper introduces new concepts such as universal Boolean algebra, l–basic algebras, free and canonical algebras. The class of universal Boolean algebras M2 is also studied, the signature of which includes all single and double operations of two-valued logic. Introducing the concept of the order of equation of algebra signatures were obtained representations of algebras in the form of an 11-digit signature cube. In this paper, cube has been divided into four nine-dimensional cubes M1 2 , M2 2 , M3 2 , M4 2. A class M1 2 +contains of functionally complete algebras η0 and a signature graph of this class is constructed, and investigation of these algebras is performed. The class of all functionally complete algebras have been divided into fifteen classesη1, η2, . . . , η15 and the signature graphs of each of these classes were constructed. The structure and types of algebras of these classes were studied. All functionally complete algebras of a class M12 have been represented in the form of a signature graph. The power of a class M12 and the distribution of algebras in tiers has been established, and a signature graph of canonical algebras of this class has been constructed. The distribution of 259 free algebras on the tiers of the Ω-cube is given and a signature graph of the class of free algebras is constructed. The obtained results are generalized to classes M1 2, M2 2, M3 2, M4 2. Based on these results, the distribution 2048 algebras of class M2 relative to the basicity on the tiers of the Ω-cube is performed.