On posets of sixth order having oversupercritical MM-type

Abstract

Representations of posets (partially ordered sets) were introduced by L. A. Nazarova and A. V. Roiter in 1972. In the same year M. M. Kleiner proved that a posets S is of finite representation type if and only if it does not contain subposets of the form K1 = (1, 1, 1, 1), K2 = (2, 2, 2), K3 = (1, 3, 3), K4 = (1, 2, 5) and K5 = (N, 4). These posets are called critical posets relative to the finiteness of type (in the sense that they are minimal posets with an infinite number, up to equivalence, of indecomposable representations) or the Kleiner’s posets. In 1974 Yu. A. Drozd proved that a poset S has finite representation type if and only if its Tits quadratic form

qS (z) =: z2 + , z2 + ,

zizj − z0 , zi

0 i i∈S

i<j,i,j∈S

i∈S

is weakly positive (i.e., positive on the set of non-negative vectors). Consequently, the Kleiner’s posets are critical relative to weak positivity of the Tits quadratic form, and there are no (up to isomorphism) other such posets. In 2005 the authors proved that a poset is critical relative to the positivity of the Tits quadratic form if and only if it is minimax isomorphic to a Kleiner’s poset. A similar situation takes place for posets of tame representation type. In 1975 L. A. Na- zarova proved that a poset S is tame if and only if it does not contain subsets of the form N1 = (1, 1, 1, 1, 1), N2 = (1, 1, 1, 2), N3 = (2, 2, 3), N4 = (1, 3, 4), N5 = (1, 2, 6) and (N, 5). She called these posets supercritical; they are critical relative to weak non-negativity of the Tits quadratic form and there are no other such posets. In 2009 the authors proved that a poset is critical relative to non-negativity of the Tits quadratic form if and only if it is minimax isomorphic to a supercritical poset. The first author suggested to introduce posets (called oversupercritical), which differ from supercritical sets in the same degree as the latter differ from critical ones. Among these posets, there are four of the smallest order, namely 6. In this article, we describe all posets that are minimax isomorphic to them and study some of their combinatorial properties. The importance of studying minimax isomorphic posets is determined by the fact that their Tits quadratic forms are -equivalent, and minimax isomorphism itself is a fairly general constructively defined .

Зображення ч. в. множин (частково впорядкованих множин) ввели Л. А. Назарова i А. В. Ройтер в 1972 р. В тому ж роцi М. М. Клейнер довiв, що ч. в. множина S має скiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли вони не мiстить ч. в. пiдмно- жин вигляду K1 = (1, 1, 1, 1), K2 = (2, 2, 2), K3 = (1, 3, 3), K4 = (1, 2, 5) i K5 = (N, 4). Цi ч. в. множин називаються критичними ч. в. множин щодо скiнченностстi типу (в тому сенсi, що це мiнiмальнi ч. в. множин з нескiнченною кiлькiстю нерозкладних зображень, з точнiстю до еквiвалентностi) або ч. в. множинами Клейнера. У 1974 роцi Ю. А. Дрозд довiв, що ч. в. множина S має скiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли її квадратична форма Тiтса

qS (z) =: z2 + , z2 + ,

zizj − z0 ,

0 i i inS

i<j,i,j inS

i inS

є слабко додатною (тобто додатною на множинi невiд’ємних векторiв). Отже, ч. в. множини Клейнера є критичними щодо слабкої додатностi квадратичної форми Тiтса, i iнших таких ч. в. множин немає (з точнiстю до iзоморфiзму). У 2005 роцi автори довели що ч. в. множин є критичною щодо додатностi квадратичної форми Титса тодi i лише тодi, коли вона є мiнiмаксно iзоморфна деякiй ч. в. множинi Клейнера. Подiбну ситуацiю маємо з ч. в. множинами ручного зображувального типу. У 1975 р. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множина S є ручною тодi i лише тодi, коли вона не мiстить ч. в. пiдмножин вигляду N1 = (1, 1, 1, 1, 1), N2 = (1, 1, 1, 2), N3 = (2, 2, 3), N4 = (1, 3, 4), N5 = (1, 2, 6) i (N, 5). Вона назвала цi ч. в. множини суперкритичними; вони є критичними щодо слабкої невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса, i iнших таких ч. в. множин немає. У 2009 роцi автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона мiнiмаксно iзоморфна деякiй суперкритичнiй ч. в. множинi. Перший автор запропонував ввести ч. в. множини (названi надсуперкритичними), якi вiдрiзняються вiд суперкритичних ч. в. множин в тiй самiй мiрi, що i останнi вiд- рiзняються вiд критичних. Серед цих ч. в. множин є чотири найменшого порядку, а саме 6. У цiй статтi ми описуємо всi ч. в. множини мiнiмаксно еквiвалентнi їм, i вивчаємо деякi їхнi комбiнаторнi властивостi. Важливiсть вивчення мiнiмаксно iзо- морфних ч. в. множин визначається тим фактом, що їх квадратичнi форми Тiтса Z-еквiвалентнi, а сам мiнiмаксний iзоморфiзм є досить загальною конструктивно ви- значеною Z-еквiвалентнiстю для квадратичних форм Тiтса ч. в. множин. Ключовi слова: зображення, критична та суперкритична ч. в. множина, надсупер- критична ч. в. множина, квадратична форма Тiтса, скiнченний i ручний зображу- вальний тип, додатнiсть i слабка додатнiсть, негативнiсть i слабка негативнiсть.