Єдинiсть ентропiйного розв’язку задачi Дiрiхле для модельного рiвняння з виродженням

Abstract

В роботi розглянуто задачу Дiрiхле для модельного нелiнiйного елiптичного рiв- няння другого порядку з iзотропними та вироджуваними (за незалежними змiнними) коефiцiєнтами, молодшим членом i L1-правою частиною. Вироджуванiсть за незале- жними змiнними характеризується наявнiстю вагової функцiї в головнiй частинi рiв- няння. Основним у данiй роботi є результат про єдинiсть ентропiйного розв’язку роз- глянутої задачi. Його встановлено за мiнiмальних умов на залучену вагову функцiю. Це – тi припущення вiдносно її iнтегровностi, якi потрiбнi для коректного введення вiдповiдного енергетичного вагового iзотропного простору Соболєва. Ключовi слова: вироджуванi елiптичнi рiвняння, L1-права частина, задача Дiрiхле, ентропiйний розв’язок, єдинiсть розв’язку.

In the present paper, we deal with the Dirichlet problem for a model nonlinear second- order equation with isotropic and degenerate (with respect to independent variables) coef- ficients, lower term and L1-right-hand side. The degeneracy with respect to independent variables is described by the presence of a weighted function in the equation’s higher term. Our main result is the theorem on the uniqueness of entropy solution of the problem under consideration. It is proved under minimal conditions on the involved weighted function. Namely, we need these assumptions on its integrability for introduction of the correspond- ing weighted isotropic energy Sobolev space. Keywords: degenerate elliptic equations, L1-right-hand side, Dirichlet problem, entropy solution, uniqueness of the solution.