Граничнi теореми гiллястого процесу з мiграцією

Abstract

Окремим роздiлом випадкових процесiв, що вивчає розмноження i перетворення певних частинок є теорiя гiллястих процесiв. Основним математичним припущенням, що видiляє гiллястi процеси серед iнших випадкових процесiв є перетворення части- нок незалежно одне вiд одного. А самi закони розмноження i перетворення частинок пiддаються певним закономiрностям, у яких головну роль вiдiграє випадковiсть. Гiллястi процеси часто використовуються як математичнi моделi рiзних реальних процесiв. Крiм того, гiллястi процеси можуть описувати динамiку популяцiї частинок рiзної природи, зокрема, це можуть бути фотони, електрони, нейтрони, протони, ато- ми, молекули, клiтини, мiкроорганiзми, рослини, тварини, особини, цiни, iнформацiя тощо. Цей список можна продовжувати. Оскiльки стороннi фактори часто iснують, iснує потреба вивчити рiзнi модифiкацiї цього процесу. Серед них є гiллястi процеси з iммiграцiєю, емiграцiєю або поєднанням двох процесiв, а саме процесiв з мiграцiєю у випадку дискретного або неперервного часу. Таким чином, гiллястi процеси мають досить широке застосування у рiзних науках. У данiй статтi дослiджується однорiдний гiллястий процес з одним типом части- нок, мiграцiєю та неперервним часом µ(t), t ∈ [0, ∞). Припускається, що в початковий момент часу в системi знаходиться одна частинка. Процес задається перехiдними ймо- вiрностями, що визначаються iнтенсивностями розмноження частинок, iммiграцiї та емiграцiї частинок. Основним результатом статтi є граничнi теореми для даної моделi процесу. Отрима- но граничну теорему для математичного сподiвання у випадку докритичного процесу. Також отримано граничну теорему для критичного процесу. Ключовi слова: гiллястий процес, неперервний час, мiграцiя, критичний процес, докритичний процес.

A separate section of random processes studies laws of reproduction and transformation of particles and it is the theory of branching processes. The basic mathematical assumption distinguishes branching processes among other random processes is the transformation of particles independently from one another. The laws of reproduction and transformation of particles are subject to regularities, in which randomness plays a major role. Branched processes are often used as mathematical models of different real processes, in particular, physical, chemical, biological, genetic, demographic, environmental, economic, technical and others. In addition, branching processes can describe the population dynam- ics of particles of different nature, in particular, they can be photons, electrons, neutrons, protons, atoms, molecules, cells, microorganisms, plants, animals, individuals, prices, in- formation, etc. This list can be continued. Thus, branching processes are quite widely used in various sciences. Since third party factors often exist, there is a need to study different modifications of this process. Among them are branching processes with immigration, em- igration, or a combination of two processes, namely processes with migration for the case of discrete or continuous time.

This article investigates a homogeneous branching process with one particle type, mi- gration, and continuous time µ(t), t ∈ [0, ∞). It is assume that there is one particle in the system at the beginning. The process is defined by transient probabilities, determined by the intensities of particle reproduction, immigration, and emigration The main result of the article is the boundary theorems for this process model. The boundary theorem for mathematical expectation in the case of a subcritical process is obtained. A boundary theorem for the critical branching process with migration and continuous-time is also obtained. Keywords: branching process, migration, continuous time, critical process, subcritical process.